实数按照大小排列可以构成实数轴，复数不属于实数，所以复数并不在实数轴上。实数轴添加一个虚数轴构成复平面，复数可以表示为复平面上的一个点。复数有大小和辐角，复平面上的点利用大小和辐角表示就是极坐标。极坐标可以通过三角函数转为复平面直角坐标 $a+bi=rcos\theta +irsin\theta =r(cos\theta +isin\theta )$。通过引入欧拉公式 $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$，它能通过复指数表示复数(三角函数形式)，复指数中系数表示大小，θ 为辐角。通过复指数能够大大简化运算。函数的相互转化:
$$a+bi=rcos\theta +irsin\theta =r(cos\theta +isin\theta )=r{e}^{i\theta }$$

1 数的分类

1.1 实数域

自然数：最常用的数为自然数，有些人指正整数，有些人则指非负整数。前者多在数论中被使用，而在集合论和计算机科学中则多使用后者的定义。如：1、2、3…

整数 = 负数 + 0 + 自然数

有理数：有理数是指可以被表示成整数分子(m)和非零整数分母(n)的分数的数，即 $m/n$，其代表 1 被分做相同的 n 份，再取 m 份后的量。分数可以是正的、负的、或零。所有分数所组成的集合包含有整数，因为每一个整数都可以写成分母为 1 的分数。有理数的符号为ℚ

无理数：无限不循环小数

实数 = 有理数 + 无理数，实数的符号为 R 。

下图是数的包含关系

所有实数按大小顺序排列后的形成的就是数轴

1.2 虚数与复数

虚数：虚数 $i$，英文 imaginary number，表示由想象力创造出来的数。

因为虚数不是实数，所以不在数轴上

复数： 实数 + 虚数 的形式 $a+bi$，其中 a 和 b 是实数，分别表示复数的“实部”和“虚部”。

2 复数的性质及其运算

现有复数： $3+2i$

2.1 复平面、大小及辐角

复平面：以实部为横轴即实数轴，以虚部为纵轴即虚数轴，复数就是这个平面上的点

复数大小计算公式：

辐角计算：
$$\theta =arctan(虛部/实部)=arctan(b/a)=arctan(2/3)=0.588弧度$$
附：关于弧度定义可参考数字信号处理-2-三角函数与谱

2.2 复数四则运算

实部之间，虚部之间可以进行四则运算。

2.3 共轭复数

共轭复数，与原复数虚部正负号相反的复数称为共轭复数

复数与它的共轭复数大小相同，但是辐角的正负号相反

复数与它的共轭复数之间相加、相乘、相除都会得到实数

2.4 复数的极坐标表示

在数学中，极坐标系（英语：Polar coordinate system）是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点—极点的距离来表示。

对于一个复数我们可以计算其大小和辐角，所以可以用极坐标系表示。如复数 $4+3i$，其大小为 r = 5，辐角为 $\theta =arctan(3/4)$， 极坐标就是 $(5,arctan(3/4)$

当我们有极坐标 $(r,\theta )$ ,就可以利用三角函数将极坐标转换到直角坐标。

上图中三角形抽离出来：

$a=r\cos \theta ,b=r\sin \theta$。即
$$复数=实部+虚部=a+bi=r\cos \theta +ir\sin \theta$$

综上，所以表示复平面上点的方法有两种，一种是用直角坐标系来表示，另一种是用极坐标系来表示。要根据目的选择便于使用的坐标系、

3 欧拉公式

欧拉公式一般表现形式：
$$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$$
当 $\theta =\pi$ 时，有 $e^{i\pi }+1=0$

纳皮尔常数 e 定义:

3.1 欧拉公式证明

复指数 $e^{i}x$ 麦克劳伦展开:

根据 $i^2=-1$ 有：

$cosx$ 与 $sinx$ 的麦克劳伦展开

三角函数替换复指数中右侧，得到欧拉公式：
$$e^{ix}=cosx+isinx$$

附:棣(di 四声)莫弗公式

棣莫弗公式由欧拉公式推出：
$$(e^{ix}{)}^n=e^{ixn}=(e^{nx}{)}^i=cos(nx)+isin(nx)$$

3.2 利用欧拉公式表示极坐标

2.4 节利用极坐标表示复数：
$$复数=实部+虚部=a+bi=r\cos \theta +ir\sin \theta$$
其中 $r=\sqrt{a^2+b^2}$， 辐角 $\theta =arctan(b/a)$

利用欧拉公式有：
$$r\cos \theta +ir\sin \theta =r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta }$$

3.3 欧拉公式推导三角函数加法定理

三角函数加法定理，根据欧拉公式$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$有：

$$e^{i(\alpha +\beta )}=cos(\alpha +\beta )+isin(\alpha +\beta )$$

根据指数计算规则又有：

$$e^{i(\alpha +\beta )}=e^{i\alpha }\ast e^{i\beta }=(cos\alpha +isin\alpha )\ast (cos\beta +isin\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta +i(cos\alpha sin\beta +sin\alpha cos\beta )$$

上面两式中实部和虚部对应相等，所以有：

也即三角函数的加法定理。

4 复数的性质、乘法和除法运算和极坐标表示方法

4.1 复数乘法

现在假设我们有两个复数 $1+2i$ 和 $3+4i$

4.1.1 直角坐标系中计算

计算两个复数的乘积，在直角坐标系中的乘法计算：

可见计算麻烦，现在将结果 $-5+10i$ 用极坐标(需要计算大小和辐角)表示：

4.1.2 极坐标下计算

极坐标下的两个复数，使用欧拉公式表示有：

进行乘法运算有：

复指数乘法将两个复数的大小相乘，辐角相加

复数 $1+2i$ 和 $3+4i$，计算极坐标，极坐标分别为 ($\sqrt{5}$,$1.1rad$)={$r_1=\sqrt{1+2^2}=\sqrt{5},{\theta }_1=arctan(2/1)=1.1弧度$} 和 ($5$,$0.93rad$)={$r_2=\sqrt{3^2+4^2}=5,{\theta }_2=arctan(4/3)=0.93弧度$}

利用欧拉公式将极坐标转为复指数：

$$\sqrt{5}{e}^{i1.1}\ast 5e^{i0.93}=5\sqrt{5}{e}^{i1.1+0.93}=5\sqrt{5}{e}^{i2.03}$$
2.03 弧度约等于 116.6 度，可见利用极坐标我们能很快算出乘积结果。

复数的乘法运算表示旋转，如下图，$(1+2i)\ast (3+4i)$,相当于$3+4i$ 先将大小放大(或缩小) $r_1=\sqrt{1+2^2}=\sqrt{5}$ 倍，随后旋转 $arctan(2/1)$弧度

4.1 复数除法

分母有理化计算除法

极坐标方式计算除法，也即把大小和辐角分别进行除法运算：

欧拉公式表示除法：

$$\sqrt{5}{e}^{i1.1}÷5e^{i0.93}=(5/\sqrt{5})\ast e^{i1.1-0.93}=(\sqrt{5}/5)e^{i0.18}$$

参考

数
复数 (数学)
漫画虚数和复数
复数的几种表示形式