快速幂算法 Pow(x,n)函数的实现

1. 前言

如果要实现x的整数n次幂(xⁿ)，那么可以采用不同的策略，最直观和简单的算法就是利用递归或迭代把n个x连续相乘起来，从而获得幂乘结果。显而易见，此算法至少需要O(n)次运算，n比较大的情况下，则运算效率较低，且占用储存空间开销大。

鉴于此，算法中需要引入快速幂的计算模式，先看一个具体的例子，给定n=10的情况下，进行推理计算过程，

1->x->x²->x⁵->x¹⁰

经过仔细观察可发现，如果n次幂为奇数，x=y*y*x, 如果n次幂为偶数，那么x=y*y, 算式中y理解为当前n的前值。

2. 递归计算

快幂的本质是分治，每次对指数的数值减半，从而最终求得结果。再举一个例子，鉴定要计算x⁷⁷, 利用二分的分治思想，过程可以分解为：

3. 代码实现

代码实现过程中值得学习的一点是，充分利用递归的返回结果进行计算，对递归的进行变量保存，然后再对这个变量进行处理，基本思路是先递归给出结果，然后再利用结果进行相关的计算，最后求出所需要的值。

/**
 * @file quick_power.c
 * @author your name (you@domain.com)
 * @brief 
 * @version 0.1
 * @date 2023-05-14
 * 
 * @copyright Copyright (c) 2023
 * 
 */
#ifndef QUICK_POWER_C
#define QUICK_POWER_C
#include "quick_power.h"

double quick_power(double x, int n)
{
    long N;
    N=n;
    return (N >= 0 ? quick_power_aux(x, N) : 1.0 / quick_power_aux(x, -N));
}

double quick_power_aux(double x, long n)
{
    //Apply the tail processing mode

    double y;

    if(n==0)
    {
        return 1.0;
    }
    else
    {
        y=quick_power_aux(x,n/2);

        return (n%2==0 ? y*y:y*y*x);
    }
}

#endif

4. 非递归的计算

5. 非递归的代码实现

对于非递归的过程，主要是对幂指数进行位运算操作处理，通过位运算操作，最终求得所需结果。

/**
 * @file quick_power.c
 * @author your name (you@domain.com)
 * @brief 
 * @version 0.1
 * @date 2023-05-14
 * 
 * @copyright Copyright (c) 2023
 * 
 */
#ifndef QUICK_POWER_C
#define QUICK_POWER_C
#include "quick_power.h"

double quick_power(double x, int n)
{
    long N;
    N=n;
    return (N >= 0 ? quick_power_aux(x, N) : 1.0 / quick_power_aux(x, -N));
}

double quick_power_aux(double x, long n)
{
    double res=1.0;

    double base=x;

    while(n>0)
    {
        if(n&1==1)
        {
            res=res*base;
        }

        base*=base; //base will get powered

        n>>=1;
    }

    return res;
}



#endif

6. 小结

通过对快幂算法学习，深入理解了对递归返回值的在处理方法，某种意义上，可以理解为“后序”处理的过程。

参考资料：

50. Pow(x, n) - 力扣（Leetcode）