1. 稀疏表示与字典学习简介

1.1 Motivation

字典学习的思想应该源来实际生活中的字典的概念。字典是前辈们学习总结的精华，当我们需要学习新的知识的时候，不必与先辈们一样去学习先辈们所有学习过的知识，我们可以参考先辈们给我们总结的字典，通过查阅这些字典，我们可以大致学会到这些知识。

稀疏表示的一个通俗解释：

设观察到的信号为$\mathbf{y}$, 字典为$\mathbf{A}$，查找一个稀疏的$\mathbf{x}$，满足$\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}$

由于$\mathbf{x}$的稀疏性质，因而，等式可以改写为如下形式：

即：原始信号可被近似表示为稀疏矩阵$\mathbf{x}$中较少的几个量的叠加。
那么，如何找到这个稀疏矩阵$\mathbf{x}$呢？
这个问题可以表示为如下的数学形式：
$${\mathbf{x}}^{\ast }=\underset{\mathbf{x}}{\mathrm{argmin}}\Vert {\mathbf{x}\Vert }_{0}subjectto\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{y}$$
PS：范数是一种强化的距离概念，它在定义上比距离多了一条数乘的运算法则。

零范数即p取0。

当P=0时，也就是L0范数，L0范数并不是一个真正的范数，它主要被用来度量向量中非零元素的个数。
下面，继续回到正题，但是，直接求解这个问题(NP hard)较为困难，
这个问题可被放松为以下条件形式：
$${\mathbf{x}}^{\ast }=arg\min \Vert {\mathbf{y}-\mathbf{A}\mathbf{x}\Vert }_2^{2}subjectto\Vert {\mathbf{x}\Vert }_0⩽ϵ$$
但上式只考虑了观测信号$\mathbf{A}x$和真实信号$\mathbf{y}$之间的平方和误差，优化过程，只是添加了一个硬性的L0范数的约束条件，因而，迭代过程缺乏对稀疏性的优化，进而修改为如下形式：
$${\mathbf{x}}^{\ast }=arg\min \frac{1}{2}\Vert {\mathbf{y}-\mathbf{A}\mathbf{x}\Vert }_2^2+\lambda \Vert {\mathbf{x}\Vert }_1$$
探索了下，获取稀疏解的原理和过程，实际上LASSO也并不是一种封闭形式的优化过程（ a closed form for the lasso solution），为了获得稀疏解

1.2 字典学习的流程

因而，基于上述的一个思想，字典学习可以被简化为一个“构造工具字典”、“查阅字典”的两个过程。对于“构造工具字典”这一过程，对字典有以下几点要求：

• 字典内容尽可能全面，总结出的字典不应该漏掉数据的关键信息。
• 字典应该尽可能简洁，即快而准。
• 在占用较小资源前提下尽可能还原知识的特性。

1.3 字典学习的数学模型

更加完整的数学公式推导可以查阅博客【4】

2 python实现

2.1字典学习

实际上，就是实现了对原始信号的稀疏重构，类似于压缩感知，这里指定变换算法为“lasso lars”， 实际上，还包含以下几种：

• ‘lars’: uses the least angle regression method (lars_path);

• ‘lasso_lars’: uses Lars to compute the Lasso solution.

• ‘lasso_cd’: uses the coordinate descent method to compute the Lasso solution (Lasso). ‘lasso_lars’ will be faster if the estimated components are sparse.

• ‘omp’: uses orthogonal matching pursuit to estimate the sparse solution.

• ‘threshold’: squashes to zero all coefficients less than alpha from the projection dictionary * X’.

import numpy as np
from sklearn.datasets import make_sparse_coded_signal
from sklearn.decomposition import DictionaryLearning
X, dictionary, code = make_sparse_coded_signal(
n_samples=100, n_components=15, n_features=20, n_nonzero_coefs=10,
random_state=42, data_transposed=False
)
dict_learner = DictionaryLearning(
n_components=15, transform_algorithm='lasso_lars', transform_alpha=0.1,
random_state=42,
)
X_transformed = dict_learner.fit_transform(X)

2.1 稀疏性统计和误差计算

print("sparsity: {}".format(np.mean(X_transformed == 0)))
X_hat = X_transformed @ dict_learner.components_
print(np.mean(np.sum((X_hat - X) ** 2, axis=1) / np.sum(X ** 2, axis=1)))

结果

sparsity: 0.4633333333333333
error: 0.011433365697744878

Process finished with exit code 0

参考资料和文献

【1】 https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.decomposition.DictionaryLearning.html
【2】http://thoth.inrialpes.fr/people/mairal/spams/documentation.html
【3】https://stats.stackexchange.com/questions/289075/what-is-the-smallest-lambda-that-gives-a-0-component-in-lasso
【4】https://www.cnblogs.com/endlesscoding/p/10090866.html