黎曼积分的概念

引入

设$f$是闭区间$[a,b]$上的非负连续函数，$D$是坐标系中由直线$x=a$，$x=b$，$x$轴和曲线$y=f(x)$围成的图形。求$D$的面积$S$。

我们可以在$[a,b]$中插入$n-1$个分点：

$$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$$

将$[a,b]$划分为$n$个子区间$[x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots ,[x_{n-1},x_n]$，并称$T$为$[a,b]$的这样一个分割，称 ∣ T ∣ = max ⁡ i = 1 n { x i − x i − 1 } |T|=\max\limits_{i=1}^n\{x_i-x_{i-1}\} ∣T∣=i=1maxn​{xi​−xi−1​}为分割$T$的长度。由此可将$D$分割为若干个部分$\Delta D_1,\Delta D_2,\cdots ,\Delta D_n$。在每一个区间$[x_{i-1},x_i]$任意取一个点${\xi }_i$，用$f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$来近似地表示$\Delta D_i$的面积。于是，我们可以用以下式子来近似地表示$S$。

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$$

当$|T|$越小，这个式子对$S$的近似程度就越高。当$|T|\to 0$时，如果$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$的极限存在，则这个极限就为图形$D$的面积$S$。

定义

设$f$是闭区间$[a,b]$上的有界函数，如果存在实数$I$，使得对于$[a,b]$的任意满足 ∣ T ∣ = max ⁡ i = 1 n { x i − x i − 1 } → 0 |T|=\max\limits_{i=1}^n\{x_i-x_{i-1}\}\rightarrow 0 ∣T∣=i=1maxn​{xi​−xi−1​}→0分割$T:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$，在每个子区间$[x_{i-1},x_i]$中任取一个点${\xi }_i$，就有

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})=I$$

即$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$，只要分割$T$的长度$|T|<\delta$，无论$\xi \in [x_{i-1},x_i]$如何取，都有

$$|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})-I|<\epsilon$$

则称$f$在闭区间$[a,b]$上黎曼可积，称$I$为$[a,b]$上的黎曼积分，记为

$$I={\int }_a^{b}f(x)dx$$

$a$和$b$称为积分的下限和上限，$f$称为被积函数，$x$称为积分变量。

由此可得，图形$D$的面积为

$$S={\int }_a^{b}f(x)dx$$

这就是黎曼积分的概念。

$f$在$[a,b]$上黎曼可积，记作$f\in R[a,b]$。