19180 集合划分问题

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题型: 编程题 语言: G++;GCC;VC;JAVA

Description

教材课后习题2-8
n个元素的集合{1,2,…,n}可以划分若干个非空子集。例如，当n=4时，集合{1,2,3,4}可以划分为15个不同的非空子集如下:
{{1},{2},{3},{4}},
{{1,2},{3},{4}},
{{1,3},{2},{4}},
{{1,4},{2},{3}},
{{2,3},{1},{4}},
{{2,4},{1},{3}},
{{3,4},{1},{2}},
{{1,2},{3,4}},
{{1,3},{2,4}},
{{1,4},{2,3}},
{{1,2,3},{4}},
{{1,2,4},{3}},
{{1,3,4},{2}},
{{2,3,4},{1}},
{{1,2,3,4}}
给定正整数n(1<=n<=20),计算出n个元素的集合{1,2,…,n} 可以化为多少个由m个不同的非空子集组成的集合。

输入格式

两个整数n和m。

输出格式

集合划分的数量。
注意此类问题数据较大，需要使用long long 类型。

输入样例

4 3

输出样例

6

解题思路

递归

找规律

递归思路：以最大数n为例

1. n 独立作为一个子集，问题就演变为 n - 1 个数分为 m - 1 个集合。即:如果现在是将4个元素划分为3个集合，如果加入第四个数时要求为独立一个子集，那在这基础上，结果加上个数为3个元素划分为2个集合的数量。
2. n 和其他数字在一起构成子集，那么先将 n - 1 个数字分为 m 个集合，再将 n 插入到这 m 个集合中的某个集合中去，因此此时会有 m 种插入方案。

举例

以集合元素个数为4为例，我们来看应该怎么求解集合划分问题。因为我们采用的是分治策略，因此，我们先看集合元素个数为3的集合的划分

考虑3个元素的集合，可划分为

1. 1个子集的集合：{{1，2，3}}
2. 2个子集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}}
3. 3个子集的集合：{{1}，{2}，{3}}

因此 F(3, 1) = 1; F(3, 2) = 3; F(3, 3) = 1;

如果我们要求4个元素的集合划分为2个子集的集合的个数F（4，2），求解过程如下：

• 如果这第4个元素不是独立子集，因此在2个子集的集合中加入4，加入4的方式如下：
  {{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，
  {{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，
  {{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}

即如果有 m 个子集，那么该情况的个数为 m * F(n - 1, m)

• 如果这第4个元素作为独立子集，只有一种方式
  {{1，2，3}，{4}}

即在 F(n - 1, m - 1) * 1

所以：F（4, 2）= 2 * F(3, 2）+ F(3, 1)


由以上的演示可以得出集合划分的公式如下：

此式中n为元素个数，m为子集个数。

递归终止条件

1. 可划分为的集合数为1时，即不能再少了；
2. 当 n == m，即元素和集合个数相等时，比如6个元素划分为4个，只能递归至4个元素划分为4个集合，而不能继续递归成3个元素划分为4个集合了（此时会出现空集合，而题目要保证每个集合至少一个元素）。
   
   

算法思路

更多注释可查看下方的完整代码中，有助于理解

代码如下

#include <iostream>

using namespace std;
/*
20 10
5917584964655
*/

long long f(int n,int m)
{
    // 递归结束条件，n和m相等，即此时每个集合只有一个元素，因为比如4个元素最多只能划分为4个集合，或只划分为1个集合
    if(n == m || m == 1) {
        return 1;
    } else {
        return f(n - 1, m - 1) + m * f(n - 1, m);
    }

}

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    cout << f(n, m) << endl;

    return 0;
}

最后

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