题目
给定一个整数数组 cost，其中 cost[i] 是从楼梯第i个台阶向上爬需要支付的费用，下标从0开始。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
数据范围：数组长度满足1≤n≤10^5 ，数组中的值满足1≤costi≤10^4。
示例1
输入：[2,5,20]
返回值：5
说明：你将从下标为1的台阶开始，支付5 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。总花费为5。
示例2
输入：[1,100,1,1,1,90,1,1,80,1]
返回值：6
说明：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为6。
思路：动态规划
动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP。如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
动态规划算法的基本思想是：
- 将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
- 对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。
- 动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果。
- 所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。
动态规划的解题步骤：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义。
- 确定递推公式。
- dp数组如何初始化。
- 确定遍历顺序。
- 举例推导dp数组。
为什么要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？——因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！
题目中说 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯” 也就是相当于直接跳到下标 0 或者直接跳到下标 1 是不花费体力的， 从下标 0 跳到下标1 开始跳就要花费体力了。
- step1：确定dp数组以及下标的含义。
使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。
dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
- step2：确定递推公式。
可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？
一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
- step3：dp数组如何初始化？
看一下递归公式，dp[i]由dp[i - 1], dp[i - 2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]，dp[1]推出。
那么 dp[0] 应该是多少呢？ 根据dp数组的定义，到达第0台阶所花费的最小体力为dp[0]，那dp[0] 应该是 cost[0]，例如 cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] 的话，dp[0] 就是 cost[0] 应该是1。
但注意题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说从到达第 0 个台阶是不花费的，但从第0个台阶往上跳的话，需要花费 cost[0]。
所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0。
- step4：确定遍历顺序。
最后一步，递归公式有了，初始化有了，如何遍历呢？本题的遍历顺序其实比较简单。
因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]，dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。
但是稍稍有点难度的动态规划，其遍历顺序并不容易确定下来。
例如：0-1背包，都知道两个for循环，一个for遍历物品嵌套一个for遍历背包容量，那么为什么不是一个for遍历背包容量嵌套一个for遍历物品呢？ 以及在使用一维dp数组的时候遍历背包容量为什么要倒序呢？这些都与遍历顺序息息相关。
- step5：举例推导dp数组。
拿cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] 来模拟一下dp数组的状态变化，如下：
代码1
// 方式一：第一步不支付费用
class Solution {
public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
int len = cost.length;
int[] dp = new int[len + 1];
// 从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始，因此支付费用为0
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
// 计算到达每一层台阶的最小费用
for (int i = 2; i <= len; i++) {
dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
}
return dp[len];
}
}
代码2
// 方式二：第一步支付费用
class Solution {
public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
int[] dp = new int[cost.length];
dp[0] = cost[0];
dp[1] = cost[1];
for (int i = 2; i < cost.length; i++) {
dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
//最后一步，如果是由倒数第二步爬，则最后一步的体力花费可以不用算
return Math.min(dp[cost.length - 1], dp[cost.length - 2]);
}
}
