文章目录

AVL树
- 前言
- 1. AVL树的概念
- 2. AVL树的结构
- - 2.1 AVL树节点的定义
  - 2.2 AVL树的结构
- 3. AVL树的操作
- - 3.1 AVL树的插入
  - 3.2 AVL树的旋转(重要)
  - - 3.2.1 左单旋
    - - 过程
      - 代码
    - 3.2.2 右单旋
    - - 过程
      - 代码
    - 3.2.3 左右双旋
    - - 过程
      - 代码
    - 3.2.4 右左双旋
    - - 过程
      - 代码
    - 旋转整体代码
  - 3.3 AVL树的验证
  - 3.4 AVL树的删除(了解)
- 4. AVL树的整体代码
- 5. AVL树的性能

AVL树

前言

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

1. AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

在这里插入图片描述

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 $O(log_2 n)$ ，搜索时间复杂度O( $log_2 n$ )。

2. AVL树的结构

2.1 AVL树节点的定义

相比于普通的二叉搜索树， AVL树要保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，需要引入一个平衡因子保持AVL高度平衡的结构。除了节点的左右两个指针外，为了便于实现引入一个父节点指针，即形成三叉链的结构，但同时左右节点的增加就会引起父节点平衡因子的更新

注意: AVL树不一定有平衡因子，使用平衡因子只是它的一种实现方式

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode	//三叉链
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;		//平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>&kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

2.2 AVL树的结构

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode	//三叉链
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;		//平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>&kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
		//一系列操作
private:
	Node* _root = nullptr;
}

3. AVL树的操作

3.1 AVL树的插入

AVL树的插入，本质上还是二叉搜索树的插入方式，因此大体的插入逻辑和普通的二叉搜索树相同，即：比根小向左遍历，比根大向右遍历，如果遇到相同节点，就插入失败，返回false，如果没遇到，遇到空的地方就直接插入，但是需要处理更新平衡因子保证左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点
调整节点的平衡因子

插入的情况:

在这里插入图片描述

bool Insert(const pair<K, V> &kv)
{
    // 第一次插入
    if (_root == nullptr)
    {
        _root = new Node(kv);
        return true;
    }

    Node *parent = nullptr;
    Node *cur = _root;

    while (cur)
    {
        if (cur->_kv.first < kv.first)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if (cur->_kv.first > kv.first)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else
        {
            return false; // 该元素已经在树中存在了, 无法插入
        }
    }

    // 链接
    cur = new Node(kv);
    if (parent->_kv.first > kv.first)
    {
        parent->_left = cur;
    }
    else
    {
        parent->_right = cur;
    }
    cur->_parent = parent;

    // 更新平衡因子
    while (parent) // parent为空，也就更新到根
    {
        if (parent->_right == cur)
        {
            parent->_bf++;
        }
        else
        {
            parent->_bf--;
        }

        if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
        {
            // 继续更新
            parent = parent->_parent;
            cur = cur->_parent;
        }
        else if (parent->_bf == 0) // 结束了
        {
            break;
        }
        else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
        {
            // 旋转处理 --- 1.让这棵子树平衡   2.降低这棵子树的高度

            if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)         //左旋
            {
                RotateL(parent);
            }
            else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)  //右旋
            {
                RotateR(parent);
            }
            else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)   //左右双旋
            {
                RotateLR(parent);
            }
            else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)   //右左双旋
            {
                RotateRL(parent);
            }
            else
            {
                assert(false);
            }
            break;
        }
        else
        {
            assert(false);
        }
    }
    return true;
}

3.2 AVL树的旋转(重要)

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为以下四种

旋转的原则: 保持它继续是搜索树
旋转的目的: 左右均衡，降低整棵树的高度

3.2.1 左单旋

过程

在这里插入图片描述

代码

写单旋的代码时，要注意判断parent是根节点还是根节点的一棵子树分为两种情况，最后按照图中画的更新平衡因子

// 左单旋
void RotateL(Node *parent)
{
    Node *subR = parent->_right;
    Node *subRL = subR->_left;

    parent->_right = subRL;
    if (subRL)
        subRL->_parent = parent;

    Node *ppnode = parent->_parent;

    subR->_left = parent;
    parent->_parent = subR;

    if (ppnode == nullptr) // parent本身就是根
    {
        _root = subR;
        _root->_parent = nullptr;
    }
    else // parent只是一棵子树
    {
        if (ppnode->_left == parent) // 判断原来的节点是左右哪一棵子树
        {
            ppnode->_left = subR;
        }
        else
        {
            ppnode->_right = subR;
        }
        subR->_parent = ppnode;
    }

    // 更新平衡因子
    parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

3.2.2 右单旋

过程

在这里插入图片描述

代码

//右单旋
void RotateR(Node *parent)
{
    Node *subL = parent->_left;
    Node *subLR = subL->_right;

    parent->_left = subLR;
    if (subLR)
        subLR->_parent = parent;

    Node *ppnode = parent->_parent;

    subL->_right = parent;
    parent->_parent = subL;

    if (ppnode == nullptr)
    {
        _root = subL;
        _root->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
        if (ppnode->_left == parent)
        {
            ppnode->_left = subL;
        }
        else
        {
            ppnode->_right = subL;
        }
        subL->_parent = ppnode;
    }

    // 更新平衡因子
    parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

3.2.3 左右双旋

过程

在这里插入图片描述

代码

写双旋代码时，旋转的整个过程直接复用单旋的代码，要注意平衡因子的更新维护，照图中画的更新平衡因子，一共有3种情况

//左右双旋
void RotateLR(Node *parent)
{
    Node *subL = parent->_left;
    Node *subLR = subL->_right;
    int bf = subLR->_bf;

    RotateL(parent->_left);
    RotateR(parent);

    if (bf == 1)
    {
        parent->_bf = 0;
        subLR->_bf = 0;
        subL->_bf = -1;
    }
    else if (bf == -1)
    {
        parent->_bf = 1;
        subLR->_bf = 0;
        subL->_bf = 0;
    }
    else if (bf == 0)
    {
        parent->_bf = 0;
        subLR->_bf = 0;
        subL->_bf = 0;
    }
    else
    {
        assert(false);
    }
}

3.2.4 右左双旋

过程

在这里插入图片描述

代码

//右左双旋
void RotateRL(Node *parent)
{
    Node *subR = parent->_right;
    Node *subRL = subR->_left;
    int bf = subRL->_bf;

    RotateR(parent->_right);
    RotateL(parent);

    if (bf == 1)
    {
        parent->_bf = -1;
        subRL->_bf = 0;
        subR->_bf = 0;
    }
    else if (bf == -1)
    {
        parent->_bf = 0;
        subRL->_bf = 0;
        subR->_bf = 1;
    }
    else if (bf == 0)
    {
        parent->_bf = 0;
        subRL->_bf = 0;
        subR->_bf = 0;
    }
    else
    {
        assert(false);
    }
}

旋转整体代码

//左单旋
void RotateL(Node *parent)
{
    Node *subR = parent->_right;
    Node *subRL = subR->_left;

    parent->_right = subRL;
    if (subRL)
        subRL->_parent = parent;

    Node *ppnode = parent->_parent;

    subR->_left = parent;
    parent->_parent = subR;

    if (ppnode == nullptr) // parent本身就是根
    {
        _root = subR;
        _root->_parent = nullptr;
    }
    else // parent只是一棵子树
    {
        if (ppnode->_left == parent) // 判断原来的节点是左右哪一棵子树
        {
            ppnode->_left = subR;
        }
        else
        {
            ppnode->_right = subR;
        }
        subR->_parent = ppnode;
    }

    // 更新平衡因子
    parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

//右单旋
void RotateR(Node *parent)
{
    Node *subL = parent->_left;
    Node *subLR = subL->_right;

    parent->_left = subLR;
    if (subLR)
        subLR->_parent = parent;

    Node *ppnode = parent->_parent;

    subL->_right = parent;
    parent->_parent = subL;

    if (ppnode == nullptr)
    {
        _root = subL;
        _root->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
        if (ppnode->_left == parent)
        {
            ppnode->_left = subL;
        }
        else
        {
            ppnode->_right = subL;
        }
        subL->_parent = ppnode;
    }

    // 更新平衡因子
    parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

// 左右双旋
void RotateLR(Node *parent)
{
    Node *subL = parent->_left;
    Node *subLR = subL->_right;
    int bf = subLR->_bf;

    RotateL(parent->_left);
    RotateR(parent);

    if (bf == 1)
    {
        parent->_bf = 0;
        subLR->_bf = 0;
        subL->_bf = -1;
    }
    else if (bf == -1)
    {
        parent->_bf = 1;
        subLR->_bf = 0;
        subL->_bf = 0;
    }
    else if (bf == 0)
    {
        parent->_bf = 0;
        subLR->_bf = 0;
        subL->_bf = 0;
    }
    else
    {
        assert(false);
    }
}

// 右左双旋
void RotateRL(Node *parent)
{
    Node *subR = parent->_right;
    Node *subRL = subR->_left;
    int bf = subRL->_bf;

    RotateR(parent->_right);
    RotateL(parent);

    if (bf == 1)
    {
        parent->_bf = -1;
        subRL->_bf = 0;
        subR->_bf = 0;
    }
    else if (bf == -1)
    {
        parent->_bf = 0;
        subRL->_bf = 0;
        subR->_bf = 1;
    }
    else if (bf == 0)
    {
        parent->_bf = 0;
        subRL->_bf = 0;
        subR->_bf = 0;
    }
    else
    {
        assert(false);
    }
}

3.3 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树基础上增加了平衡性的限制，要验证是否为AVL树需要2步:

验证其为二叉搜索树
- 若中序遍历可得到一个有序序列，就说明为二叉搜索树
验证其为平衡树
- 每个节点左右子树高度差的绝对值不超过1
- 节点的平衡因子是否计算正确

int _Height(Node *root)
{
    if (root == nullptr)
        return 0;

    int leftH = _Height(root->_left);
    int rightH = _Height(root->_right);

    return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
}

bool IsBalance()
{
    return _IsBalance(_root);
}

bool _IsBalance(Node *root)
{
    if (root == nullptr)
        return true;

    int leftH = _Height(root->_left);
    int rightH = _Height(root->_right);

    // 验证具体的每个平衡因子是否计算正确
    if (rightH - leftH != root->_bf)
    {
        cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
        return false;
    }

    // 当前左右高度差绝对值小于2, 再去检查左子树和右子树
    return abs(leftH - rightH) < 2 
        && _IsBalance(root->_left) 
        && _IsBalance(root->_right);
}

3.4 AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

4. AVL树的整体代码

#include<iostream>
#include<utility>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode	//三叉链
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;		//平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>&kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};


template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//第一次插入
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}


		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;       //该元素已经在树中存在了, 无法插入
			}

		}


		//链接
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;



		//更新平衡因子
		while(parent)		 //parent为空，也就更新到根
		{
			if (parent->_right == cur)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//继续更新
				parent = parent->_parent;
				cur = cur->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 0)  //结束了
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//旋转处理 --- 1.让这棵子树平衡   2.降低这棵子树的高度

				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}

	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	bool IsBalance()
	{
		return  _IsBalance(_root);
	}


private:

	//左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;


		if (ppnode == nullptr)				//parent本身就是根
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else								//parent只是一棵子树
		{
			if (ppnode->_left == parent)   //判断原来的节点是左右哪一棵子树
			{
				ppnode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppnode;
		}

		//更新平衡因子
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}


	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;


		if (ppnode == nullptr)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppnode;
		}

		//更新平衡因子
		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}


	//左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);


		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}


	//右左双旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}


	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftH = _Height(root->_left);
		int rightH = _Height(root->_right);

		return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
	}
	

	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		int leftH= _Height(root->_left);
		int rightH = _Height(root->_right);

		//验证具体的每个平衡因子
		if (rightH - leftH != root->_bf)		
		{
			cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;    
			return false;
		}


		//当前左右高度差绝对值小于2, 再去检查左子树和右子树
		return abs(leftH - rightH) < 2 
			&& _IsBalance(root->_left) 
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

	void _Inorder(Node*root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " " ;
		_Inorder(root->_right);

	}

	Node* _root = nullptr;
};

5. AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 $log_2 (N)$ 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。