说在开头：关于第五届索尔维会议（2）

索尔维会议的第四天休会，第五天开始自由讨论，大家都想站起来发言，会场一片混乱。大会主席洛伦兹不断拍桌子，让大家保持安静，可现场还是太乱，德语、法语、英语吵成一片，埃伦费斯特一看，就在黑板上写了一行大字：上帝真的使人们的语言混乱了。看到这些字，大家都老实了，挨个发言吧。洛伦兹点名玻尔先发言，玻尔就就阐述了观测的意义：对于电子来说，你不观测它的时候，讨论它存不存在是没有意义的；物理学不是要找出自然是什么，而是对于自然，我们能说什么。对于这么毁三观的发言，在场的老派物理学家们都觉得不爽，因为玻尔把物理学的意义都给改了，还牵扯到了哲学问题。

这时，爱因斯坦终于发言了，薛定谔和德布罗意可算是松了口气。爱因斯坦是思维实验大师，一抬手就设计了一个思想实验：假如板子上有一个小孔，一个电子飞过去，那么这个电子穿越小孔的时候将发生衍射现象。那么我们现在有两个理论可以解释这一现象：1，假如用德布罗意和薛定谔的说法：这个电子其实是个波，就像是一片云彩穿过了小孔发生衍射；2，如果用哥本哈根的说法：的确有个电子，而波函数是它的“分布几率”，电子本身不扩散到空中，而是它的概率波。爱因斯坦承认，第二种理论比第一种更加完备，因为理论二包含了理论一。尽管如此，爱因斯坦说他不得不反对第二个理论：电子穿越过小孔之后，按照波函数的计算，它达到屏幕上任何一点的概率都不一样，但都不为0；那么电子在没打中屏幕之前，任何一点都有被打中的可能，当电子自己决定打中A点，此时事情突变：A点的概率就变成了100%，而其它点的概率就突然变成了0；这个消息也传的太快了点吧，别的点怎么知道电子已经打中了A点了呢？而且别的点不管离A点多远，都能瞬时知道；难道不需要传递消息的时间么？这是违反狭义相对论的，依我看哪，电子通过小孔后，有无数条路径可走，但电子只是概率性的走了其中一条，我们不知道电子是怎么选择路径的，也不知道什么因素控制着电子选择路径，而量子论给出的计算只能算到概率（隐变量的概念）；从这个角度来看，量子论是不完备的，只是个阶段性的成果，还远不是世界的本来面目哪。

玻尔和他的爱酱们一脸懵逼，爱因斯坦他他他在说啥？但他们觉得要把“波函数坍缩”说清楚：波函数只是一个抽象的概率波，不是真实飘荡在空间中的波，所以它在A点坍缩时，不需要把消息传递给其它各点；也就是说，其它各点的波函数不需要接收到A的消息，就能就在同一时刻把概率集中到A点了，不管它们离A点有多远。

爱因斯坦自然对这种解释不满意，因为他坚信“上帝不掷骰子”，而玻尔反击“别指挥上帝该怎么做”，两边的主将上场了，玻尔这群哥本哈根学派各个都不是吃素的，团战能力更不是爱因斯坦这边的散兵游勇所能比。边上的吃瓜群众也很激动：毕竟这是当今最高水平的物理学讨论，而且说到底这群吃瓜群众的态度，才能决定最后双方辩论的输赢。

虽然在物理学上他们争锋相对，但平时生活里还是友好相处的，爱因斯坦和玻尔是好朋友，他们俩经常一边散步一边聊天，海森堡和泡利有时就在后边跟着，听听两位大咖聊些啥，偶尔憋不住了还顺便插个嘴。薛定谔和玻恩的物理学观点完全对立，但他们俩非常投缘，特别爱聊第一次世界大战时候在战场的经历。

索尔维会议开了6天，大家都在不断讨论量子论的问题；到最后爱因斯坦、薛定谔和德布罗意还是不认可哥本哈根学派的说法，但是围观的吃瓜党慢慢都开始倾向于哥本哈根学派了，大家对玻尔他们理论的认同感更强，量子物理的哥本哈根解释得到了广泛的传播。大家都知道了量子是反直觉的，很多宏观思想在微观世界是不好使的，在事实面前不得不接受。就连爱因斯坦的好友埃伦费斯特都一屁股坐到了玻尔那边，还替爱因斯坦惋惜：你看看你现在的状态，就跟当年反对相对论的那帮人差不多嘛，你怎么就没有接受新鲜事物的勇气了呢？

爱因斯坦就是不认账，他总觉得量子论是不完备的；他在苦苦思索，玻尔的漏洞在哪里呢？这一想就又过去了好几年。（参考自：吴京平-无中生有的世界）

二，电感器选择

电感器的选择是开关电源设计中最重要的一步，上一章节关于电流纹波率r的确定以及电感峰值电流的计算，其很重要的目的就是计算出合适的电感器。

1，电感器尺寸

电感器的尺寸很大程度上决定了整个开关电源的面积，我们上面提到了电感器尺寸取决于电感器磁芯处理能量的大小，但是具体与我们所知道的哪些参数相关呢？

1.1 电感量与电感器尺寸

电感器的尺寸主要决定于磁芯体积的大小，从电感量公式L= μr*N²*Ae/le分析，理论上对于同一个磁芯（磁导率μr、磁芯横截面积Ae和磁路长度le已确定），只要增加绕线匝数，就能获得所希望得到的任何电感量，与电感器尺寸没有必然的关系；但在实际应用中电感量和电感器的尺寸还是相关的。

我们通过在电流纹波率r章节的分析，当r值越小那么电感器所需的能量处理就越大，电感尺寸就越大；同时考虑r = ΔI/Idc，ΔI = (ΔV*Δt)/L，当其它所有条件（输入电压Vin、输出电压Vo，开关频率f，输出负载电流Io等）不变时，r值越小就需要电感值L越大；由此可以判断：在给定工况的电源拓扑中，采用电感器的电感值越大，那么其电感器尺寸也一定越大。

——如果负载电流增加，那么电感器将需要具有更大的能量处理能力，更大尺寸的电感器，但此时却需要更小的电感值；因为Idc增加后，为了保证r值最优，需要同比增加ΔI，所以需要减小电感值L（ΔI = (ΔV*Δt)/L）。我们回忆一下平时接触的BUCK开关电源设计，负载电流在5A以内的电感器感值可能在5uH~20uH级别，负载电流增大至30A时电感器感值在几百nH级别。

1.2 开关频率与电感器尺寸

我们在《电源变换器基础》中就讲到过开关频率的增加，可以使整个开关电源的面积减小。

如果保持其它参数不变，只是增加开关频率，那我们可以看到电感公式中：ΔI = (ΔV*Δt)/L，Δt随开关频率线性减小，即：开关频率f增加一倍，那么Δt将减小一半。而且由于Idc不变，而ΔI减小一半，所以r由原来的0.4变成了0.2；为了恢复r最优值0.4，则必须将电感值L减半，来保证ΔI不变。

根据电感能量储存公式：E = 1/2*L*I²pk，L减半而Ipk不变，那么E也减半，可得电感器尺寸减半。所以我们得到一个结论：电感器尺寸与开关频率成正比，电感器电流应力与开关频率无关。

——在实际开关电源中频率与电感值并非完全的比例关系，因为“死区时间”占用了部分开关时间，Δt不会随开关频率增加而完全的比例减小；但这不影响定性分析。

1.3 负载电流与电感器尺寸

若负载电流Io加倍（其它条件不变：输入电压、输出电压、开关频率），那么r值将减半，因为ΔI = (ΔV*Δt)/L并没有发生变化。为了使r值达到最优的0.4，ΔI也必须加倍，而此时伏秒积ΔV*Δt不变（开关频率），唯一的方法是将电感值L减半。

——所以可以得到一个结论：电感器的电感值L与负载电流成反比。

由于电感值L减半，所以ΔI = (ΔV*Δt)/L增加一倍，而Io也加倍，所以Ipk = Io+ΔI也增加了1倍；我们根据电感能量储存公式：E = 1/2*L*I²pk，L减半而Ipk加倍，可得E也加倍。

——所以又可以得到一个结论：电感器的尺寸与负载电流成正比。

2，如何选择电感器

一般电感器厂家是不会提供E = 1/2*L*I²pk的参数，而会提供一个或多个额定电流供我们选择（具体可以参考《电感器原理》中关于电感器参数的分析）：

1. 额定电流标成最大直流电流Idc，最大温升电流；

——举个栗子：表示电感器温升达到40℃时的电流大小，与电感器铜线绕组的电阻相关，表示电感器本身热耗已达极限。

2. 最大饱和电流Isat，饱和电流；

——举个栗子：表示电感器电感量下降20%时的电流大小，与电感器磁芯饱和程度相关，表示磁芯的储能已接近极限。

一般来说电感器的Idc和Isat相等时是最优的，因为从本质来说Idc体现的是绕组铜线的粗细，而Isat体现的时磁芯体积的大小：

1. 如果Idc > Isat，那么说明铜线过粗是有浪费的，

2. 相反若Idc < Isat，则说明磁芯体积过大有浪费；

3. 所以对于电感器来说Idc = Isat的情况下是性价比最高的；但考虑磁芯的成本远大于铜线的成本，所以允许铜线可以更粗一点，即Idc > Isat。

对于我们应用来说：电感器额定电流值需要考虑Idc 和Isat中较小的那个，其它的额定值可以忽略。

2.1 电感器电流额定值的应用

我们前面分析的都是开关电源在稳态工作中的电感需求，但在实际工作中开关电源会碰到很多异常的情况，举个栗子：开关电源开启瞬间，输入电源电压变化，负载电流突变（输出短路），此时由于开关电源要尽力维持输出电压的稳定，占空比可能会瞬时增加至最大值，导致在导通阶段的伏秒积（Von*Ton）增加，可能达到设定的电流极限值，此时电感器有可能达到饱和状态。再举个栗子：在3A应用中（5A限流）选择额定值为3A的电感器，那么在输出短路时，电流会瞬间达到极限。

那么我们要如何考虑电感器磁饱和的问题呢？电感器的最大电流要如何选择。一般情况下，低压开关电源的磁饱和并不会带来太大的问题，我们之所以不希望看到磁饱和，是因为磁饱和后可能导致开关管的损坏，我们只要保证电感器短暂磁饱和后开关管不会被损坏。接着上面的栗子，当饱和电流为3A的电感器输出短路时，电流增大到5A，此时只要开关管通流大于5A，保证在超过5A时足够快的关闭，从而不会导致开关管损坏。

那怎样才能足够快呢（除了修炼《葵花宝典》这种途径之外）？哪些因素能影响开关管迅速关闭，从而避免受电感器磁饱和的影响？

1. 任何限流电路都需要一定的响应时间，电源拓扑对输出电压的响应需要通过：信号采样、比较、放大、电平转换以及驱动器驱动开关管，这整个回路是有固定延时的；

2. 如果使用控驱动芯片（非内置开关管），那么开关管与驱动器之间有一定的距离，走线会有延时，而且其寄生电感会抑制电流突变，导致产生额外延时；

3. BJT甚至大功率MOS管都有较大的内部寄生电容（Cgd，Cgs），需要充放电，必然也会产生延时

——如之前所述，这也是设置“死区时间”的原因；有兴趣的同学可以再回顾下《MOS管特性和应用》。

4. 很多控制器会设置过流时间门限，避免噪声干扰导致的误触发，导致环路不稳定，但这段时间也会对延时响应产生很大的影响，如下图所示；

5. 在输入高压应用中，根据公式：ΔI = (ΔV*Δt)/L，可得饱和电感的电流上升率会非常大，电流会远远超出设定的电流限制阈值；所以在大电压应用中一般选择一个足够大的磁芯，避免在电流限制阈值处达到饱和。

6. 而大多数低压应用中，仅根据最大工作负载电流选择电感器（最好留有裕量），因此忽略的设定的电流极限，一般情况下没有问题。

2.2 电感器电流限制容限

按照开关电源中选择电感器的标准步骤，首先按照电流纹波率为0.4来确定电感值，这是开关电源整体设计的最优值；

1. 如果电感器工作时的峰值电流接近于电源控制器设定的电流限制，则需要保证电感值足够大（ΔI小），对于大多数低压开关电源来说，避免计算的工作峰值电流Ipk超过其电流限制（电流限制最小值ICLIM_MIN，忽略最大值），否则开关管的损耗会增加；所以基本设计标准是：计算电感器峰值电流Ipk总小于电流限制最小值；

——电源控制器的电流限制分为：电流限制最小值ICLIM_MIN和电流限制最大值ICLIM_MAX。

2. 电感器感值是有典型容限的，一般为±20%，所以根据r计算的电感值L最小是L*0.8，此时ΔI增加25%，为了保证Ipk不超过电流限制最小值，实际选择的电感器感值必须比计算的电感值L高20%，以保证电感器个体差异导致的电感值变化，不会低于计算的电感值L；

3. 同时在峰值电流Ipk和电流限制最小值之间至少还需留出20%的裕量，这主要考虑负载突变时以便电源能快速做出响应。

一般来说在高压应用（Vin>40V）时，用电流限制最小值（ICLIM_MIN）来选择电感值，而用电流限制最大值（ICLIM_MAX）来决定电感器尺寸。

2.3 L x I和负载所方法快速选择电感器

我们上面已经了解了电感器感值和电流的计算原则，那么接下来将结合计算出来的电感器感值和电流，如何来快速选择电感器；

根据电感方程ΔI = (ΔV*Δt)/L可推导出伏秒积公式：L*ΔI = ΔV*Δt，而ΔI = Idc*r，Et =ΔV*Δt，可得：（L *Idc）=Et/r = 伏秒积/电流纹波率。我们知道了伏秒积，确定了电流纹波率r后，就能计算出L*Idc的值，然后如果知道了Idc，就能计算出L。具体电感值推算过程及结果如下图所示。

L*I看做是每安培电感值，只是电感值与电流的关系成反比，即：如果电流增加则电感值同比减小。如果2A应用中使用100uH电感，那么1A应用中使用200uH，4A应用中使用50uH。如下图所示。

举个栗子：假设BUCK开关电源输入电压为10~15V，输出电压为5V，最大负载电流为10A，开关频率为500KHz，求推荐电感值。

1. 对于降压拓扑，需要从Vinmax（15V）开始设计电感器；

2. 由降压拓扑直流传递函数：D = Vo/Vin = 5V/15V=0.33；

3. 开关周期T = 1/f = 2us；

4. 关断时间Toff = T*(1-D) = 1.34us；

5. 伏秒积为Et = Vo*Toff = 5V*1.34us = 6.7usV；

6. 假设r = 0.4，那么L*I =Et/r = 6.7/0.4 = 16.75 uH.A；

7. 最大负载电流为10A，即Idc = Io = 10A；

8. 因此L = 16.75uH.A/10A = 1.675uH；

9. 电感器额定电流必须大于Idc*（1+r/2）=12A

10. 所以，我们可以选择1.675 uH *1.2 = 2uH左右（电感器感值预留20%裕量），额定电流12A*1.2 = 15A左右（电感器电流预留20%裕量，最大负载电流的1.5倍）的电感器。

再举个栗子：假设BOOST开关电源输入电压为4~6V，输出电压为12V，最大负载电流为3A，开关频率为500KHz，求推荐电感值。

1. 对于升压拓扑，需要从Vinmin（4V）开始设计电感器；

2. 由升压拓扑直流传递函数：D = (Vo-Vin)/Vin = (12V-4V)/12V=0.667；

3. 开关周期T = 1/f = 2us；

4. 导通时间Ton = T*D = 1.334us；

5. 伏秒积（按导通时间计算）为Et = Vin*Ton = 4V*1.334us = 5.336usV；

6. 假设r = 0.4，那么L*I = Et/r = 5.336/0.4 = 13.34 uH.A；

7. 最大负载电流为3A，即Idc = Io/(1-D) = 3A/(1-0.667) = 9 A；

8. 因此L = 13.34uH.A/9A = 1.48uH；

9. 电感器额定电流必须大于Idc*（1+r/2）=10.8 A

10. 所以，我们可以选择1.48 uH *1.2 = 1.78uH左右（电感器感值预留20%裕量），额定电流10.8A*1.2 = 13A左右（电感器电流预留20%裕量）的电感器。

——我们可以看到BOOST拓扑开关电源的电感器电流要远大于负载电流，所以在同等条件下相比于BUCK的电感器尺寸要更大。

写在最后

本章我们从电感电流切入引出电流纹波率r，同时由电流纹波率r打通了开关电源拓扑中的所有电应力（电压、电流）参数的关联关系，从而由输入、输出电源电压/电流，确定了电感器的所有参数。磁性元件设计是开关电源设计的重点和关键所在，我们推导出了电感器选型的基本参数，但实际磁性元件的考虑还有更多：包括损耗（磁芯损耗、铜线绕组损耗）和其它极性应力的考虑；后续在不同章节中展开分析。

本章部分相关内容和图片参考自：Sanjaya Maniktala -《精通开关电源设计》。下一章《基本开关电源电感能量传输原理》。