FFT

FFT 快速傅里叶变换，是利用计算机计算DFT的高效、快速计算的方法的统称。
将信号从时域变换到频域范围内。
在这里插入图片描述

matlab中的fft

语法：

Y = fft(X)
Y = fft(X,n)
Y = fft(X,n,dim)

说明
Y = fft(X) 用快速傅里叶变换 (FFT) 算法计算 X 的离散傅里叶变换 (DFT)。
*如果 X 是向量，则 fft(X) 返回该向量的傅里叶变换。
*如果 X 是矩阵，则 fft(X) 将 X 的各列视为向量，并返回每列的傅里叶变换。
*如果 X 是一个多维数组，则 fft(X) 将沿大小不等于 1 的第一个数组维度的值视为向量，并返回每个向量的傅里叶变换。

Y = fft(X,n) 返回 n 点 DFT。如果未指定任何值，则 Y 的大小与 X 相同。

如果 X 是向量且 X 的长度小于 n，则为 X 补上尾零以达到长度 n。
如果 X 是向量且 X 的长度大于 n，则对 X 进行截断以达到长度 n。
如果 X 是矩阵，则每列的处理与在向量情况下相同。
如果 X 为多维数组，则大小不等于 1 的第一个数组维度的处理与在向量情况下相同。

Y = fft(X,n,dim) 返回沿维度 dim 的傅里叶变换。例如，如果 X 是矩阵，则 fft(X,n,2) 返回每行的 n 点傅里叶变换。

N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方，但是这里直接取读取出来的样本数作为N。

FFT 计算公式如下：
在这里插入图片描述

Xk 长度与 N 相同。
根据奈科斯特定律，只有 f=fs/2 范围内的信号才是被采样到的有效信号，因此得到的频谱肯定是关于 N/2 对称的（就是只看前一半的波形就好）。
第k点的实际频率的计算为 f(k) = k * (fs / n) — — (横轴的频率范围为：f = n * fs / N;)
X[0] 为直流分量，幅值 = 模值(X[0]) / N
X[k] 为个点的频率分量（除X[0]外），幅值 = 模值(X[k]) / (N / 2)

示例

使用傅里叶变换求噪声中隐藏的信号的频率分量。
指定信号的参数，采样频率为 1 kHz，信号持续时间为 1.5 秒。

Fs = 1000;            % Sampling frequency                    
T = 1/Fs;             % Sampling period       
L = 1500;             % Length of signal
t = (0:L-1)*T;        % Time vector

构造一个信号，其中包含幅值为 0.7 的 50 Hz 正弦量和幅值为 1 的 120 Hz 正弦量。

S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);

用均值为零、方差为 4 的白噪声扰乱该信号。

X = S + 2*randn(size(t));

在时域中绘制含噪信号。通过查看信号 X(t) 很难确定频率分量。

plot(1000*t(1:50),X(1:50))
title("Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise")
xlabel("t (milliseconds)")
ylabel("X(t)")

在这里插入图片描述
计算信号的傅里叶变换。

Y = fft(X);

计算双侧频谱 P2。然后基于 P2 和偶数信号长度 L 计算单侧频谱 P1。

P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

定义频域 f 并绘制单侧幅值频谱 P1。与预期相符，由于增加了噪声，幅值并不精确等于 0.7 和 1。一般情况下，较长的信号会产生更好的频率逼近值。

f = Fs*(0:(L/2))/L;
plot(f,P1) 
title("Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)")
xlabel("f (Hz)")
ylabel("|P1(f)|")

在这里插入图片描述
现在，采用原始的、未破坏信号的傅里叶变换并检索精确幅值 0.7 和 1.0。

Y = fft(S);
P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

plot(f,P1) 
title("Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t)")
xlabel("f (Hz)")
ylabel("|P1(f)|")