和差波束法原理

和差波束法是等信号测角方法中的一种，该方法利用两个形状完全相同但是部分重叠的波束，两个波束再形成和波束和差波束，由和差波束测量目标回波的入射角。
如下图所示，波束1和波束2满足和差波束法的要求。两个波束相交叉的一点与原点的连线$OA$为等信号轴，如果目标从等信号轴方向入射，此时两个波束测得的信号强度的差值为0，即目标的角误差为$ϵ=0$，则波束1和波束2收到的信号的强度完全相等，两者的差信号的振幅为0。当信号不是从等信号轴方向入射时，波束1和波束2收到的信号强度必然不同，即目标的角误差$ϵ\ne 0$。我们可以通过比较两个波束回波的强弱来判断目标偏离等信号轴的方向，目标偏离等信号轴的角度可以通过查表法进行估计。

图1. 等信号法测角示意图

设天线方向图为$F(\theta )$，等信号轴$OA$指向${\theta }_0$方向，${\theta }_{\Delta }$为等信号轴与波束最大值的夹角，那么可以得到波束1、波束2的方向图为：
$$\begin{gathered} F_1(\theta )=F(\theta -{\theta }_0+{\theta }_k) \\ {F}_1(\theta )=F(\theta -{\theta }_0-{\theta }_k) \end{gathered}$$
假设目标所在角度与等信号轴${\theta }_0$的夹角为${\theta }_t$，则波束1和波束2收到的信号分别为：
$$\begin{gathered} u_1(\theta )=kF({\theta }_k-{\theta }_t) \\ {u}_2(\theta )=kF({\theta }_k+{\theta }_t) \end{gathered}$$
其中，$k$为常数，波束1和波束2接收信号的和为和波束$\Sigma ({\theta }_t)$，波束1和波束2接收到的差为差波束$\Delta ({\theta }_t)$，即
$$\begin{gathered} \Sigma ({\theta }_t)=u_1(t)+u_2(t)=k(F({\theta }_k-{\theta }_t)+F({\theta }_k+{\theta }_t)) \\ \Delta ({\theta }_t)=u_1(t)-u_2(t)=k(F({\theta }_k-{\theta }_t)-F({\theta }_k+{\theta }_t)) \end{gathered}$$
在等信号轴${\theta }_0$附近，$\Sigma ({\theta }_t)\approx 2F({\theta }_0)k$，$\Delta ({\theta }_t)\approx 2k{\theta }_t\frac{dF(\theta )}{d\theta }{\mid }_{\theta ={\theta }_0}$，和信号和差信号的比值为：
$$\frac{\Delta ({\theta }_t)}{\Sigma ({\theta }_t)}=\frac{{\theta }_t}{F({\theta }_0)}\frac{dF(\theta )}{d\theta }{\mid }_{\theta ={\theta }_0}$$
由此可见，$\frac{\Delta ({\theta }_t)}{\Sigma ({\theta }_t)}$正比于${\theta }_t$，我们可以用它来估计目标的角度和方向。我们可以将和差波束的幅度比值随着误差角度的变化曲线称之为鉴角曲线。

MATLAB仿真

设阵元数为11的一维均匀等距线阵，以等信号轴为法线方向，两个波束的指向分别为-3°和3°，波长为$1/2\lambda$，代码和两个波束的方向图如下所示。

%% 形成波束1和波束2的方向图
%% 波长为半波长，波束1指向-3°，波束2指向3°
close all; clear all; clc;
N = 11;                 %阵元数
theta = -90:0.1:90;
theta1 =-3;             %波形1指向的方向
theta2 = 3;             %波束2指向的方向
theta1 = theta1*pi/180; %将度转换为弧度
theta2 = theta2*pi/180;
theta = theta*pi/180;
d_lembda = 0.5;         %阵元间距比波长
w_1 = exp(j*2*pi*d_lembda*(0:N-1)'*sin(theta1)); %波束1加权权向量
w_2 = exp(j*2*pi*d_lembda*(0:N-1)'*sin(theta2)); %波束2加权权向量
a = exp(j*2*pi*d_lembda*(0:N-1)'*sin(theta));    %导向矢量
y1 = abs(w_1'*a); % 波束1的方向图
y2 = abs(w_2'*a); % 波束2的方向图
figure;
%plot(theta*180/pi,20*log10(y1/max(y1)))        ;%归一化，并取dB为单位
plot(theta*180/pi,(y1/max(y1)),'linewidth',1);   %绘制波束1
hold on;
plot(theta*180/pi,(y2/max(y2)),'linewidth',1);   %绘制波束2
xlabel('方位角/°');
ylabel('归一化方向图');
legend('波束1','波束2');
axis tight;
grid on;

方向图如下，取归一化的结果

图2. 两个波束的方向图