✳️ 一、引言

图像超分辨率重构技术起源于上世纪60年代Harris和Goodman构造的单帧图像重构方法；上世纪80年代初， Tsai和Huang首先提出了序列或多帧图像的超分辨率重构问题，并给出了基于频域的逼近方法；自90年代以来，超分辨率图像重建方法的研究取得了突破性的进展，并日趋实用化。超分辨重构算法按照可使用低分辨率图像的数目可以分为： 1) 序列图像的高分辨率估计，即组合同一场景的多幅低分辨率图像以获得高分辨率图像； 2) 单幅图像的高分辨率估计，由一幅低分辨率图像得到高分辨率图像。此外，单幅图像超分辨算法按照作用域的不同又可划分为空间域重构算法和变换域重构算法；序列图像超分辨重构算法也可分为基于约束的算法和基于学习的算法。

✳️ 二、最小二乘图像插值理论与Matlab处理

此算法中，待插值图像被划分成大小为M×M的重叠块，算法目标是获得大小为N×N的每个块的插值图像。假设被插值低分辨率块和插值后高分辨率块之间的关系由下式给出

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式中： ${{g}_{i,j}}$ 和 ${{\hat{f}}_{i,j}}$ 分别为在(i,j)处 ${{M}^{2}}\times 1$ 和 ${{N}^{2}}\times 1$ 按序排列的低分辨率图像(LR)和高分辨率图像块(HR)；W为从LR块获得HR块所需的 ${{N}^{2}}\times {{M}^{2}}$ 权重矩阵，此矩阵必须对各个块具有自适应性。

因而，需要求出权重矩阵W。为保证均方差(MSE)最小化的最小二乘解，可考虑当前LR块与原来HR块之间的关系模型，该模型由下式给出

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矩阵D为 ${{N}^{2}}\times {{M}^{2}}$ 维，将下面代价函数最小化：

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上述方程表示最小化待插值LR块和HR块的降采样之间的MSE，即

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上式在Matlab中处理手段如下：

norm(g_ij-D*f_ij0)>bound

两边同时对权重矩阵微分则有:

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权重矩阵可由下面方程得到

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上式在matlab中的处理方式如下：

W=W+u*D'*(g_ij-D*f_ij0)*g_ij';

✳️ 三、基于最小二乘插值超分辨重构实验验证

在模拟实验中，首先对原始图像进行降采样，然后加入高斯白噪声(AWGN)来模拟低分辨率图像降质模型，最后，对低分辨率图像进行双线性插值重构原始图像，结果如图1所示，此时，重构图像与原始图像之间的峰值信噪比为29.1124。

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图 1 基于最小二乘插值重构结果

✳️ 四、参考文献

[1] S. E. El-Khamy, M. M. Hadhoud, M. I. Dessouky et al. 2005. Adaptive Least Squares Acquisition of High Resolution Images, Int. J. Information Acquisition, 2, 45–53.

[2] S. E. El-Khamy, M. M. Hadhoud, M. I. Dessouky et al. 2006. Efficient Solutions for Image Interpolation Treated as an Inverse Problem, J. Information Sci. Eng., 22, 1569–1583.

[3] H. I. Ashiba, K. H. Awadalla, S. M. El-Halfawy et al. 2011. Adaptive Least Squares Interpolation of Infrared Images, J. Circuits Syst. Signal Proc., 30, 543–551.