传统机器学习(六)集成算法(2)—Adaboost算法原理

1 算法概述

Adaboost(Adaptive Boosting)是一种自适应增强算法，它集成多个弱决策器进行决策。

Adaboost解决二分类问题，且二分类的标签为{-1,1}。注：一定是{-1,1}，不能是{0,1}

它的训练过程是通过不断添加新的弱决策器，使损失函数继续下降，直到添加决策器已无效，最终将所有决策器集成一个整体进行决策。

1.1 Adaboost概述

1.1.1 Adaboost的具体操作

• Adaboost会先训练一个弱决策器进行预测，在单个决策器的预测基础上，添加第二个，让预测更准确，在两个决策器的集成决策基础上，添加第三个，让预测更准确，…，如此类推，通过不断添加新的决策器，使损失函数持续下降，直到新增的决策器无法再让损失函数下降，则停止训练。最终将所有决策器集成一个整体进行决策。
• 理论上Adaboost适用于多种决策器，但实际中基本都是以决策树作为决策器，这样的Adboost也称为提升树。在不特指的情况下，Adboost一般就是指以决策树为决策器的Adaboost算法。
• 个体学习器之间存在强依赖关系、必须串行生成的序列化方法。
  • 【提高】那些在前一轮被弱分类器【分错】的样本的权值
  • 【减小】那些在前一轮被弱分类器【分对】的样本的权值
  • 【加法模型】将弱分类器进行【线性组合】

1.1.2 Adaboost的模型表达式

$$\begin{gathered} F(x)=a_1{D}_1(x)+a_2{D}_2(x)+...+a_m{D}_m(x) \\ 其中，D_i(x):第i个决策器 \\ {a}_i：决策器的权重系数，为正数 \\ 可以看到,Adaboost模型就是一系列决策器的加权和。 \end{gathered}$$

模型的输出是一个数值(即所有决策器的权重和)

• 如果模型的输出是负数，判为-1标签，

• 如果模型的输出是正数，判为 1标签。

一个Adboost模型由以下参数决定：

• 各个决策器自身的模型参数
• 各个决策器的权重

注意：

在每一轮，分别记录好那些被【当前分类器】正确分类和错误分类的样本，在下一轮训练中，提高【错误分类样本】的权值，同时降低【正确分类样本】的权值，用来训练新的弱分类器。这样一来，没有得到正确分类的数据，由于其权值加大，会受到后一轮弱分类器的更大关注。

【加权多数表决】是指：

1、加大【分类误差率】小的弱分类器的权值，使其在表决中起到较大的作用。

2、减小【分类误差率】大的多分类器的权值，使其在表决中起到较小的作用。

1.1.3 前向分布算法

模型求解采用前向分步算法，即逐个逐个决策器训练，先训练第一个，在第一个基础上，训练第二个…每个决策器的训练目标都力求在当前最优(把损失函数降到最低)。直到新增决策器已无法减少误差（或达到最大决策器个数m)。

Adboost的关键点在于每个决策器的训练上，对于第k个决策器的训练，Adboost的训练方法是把决策器D(k)和系数a(k)拆开训练，先训练D(k)，后训练系数a(k)。

1.1.4 算法流程

第一步:初始化样本权重

初始化训练数据（每个样本）的权值分布。每一个训练样本，初始化时赋予同样的权值w=1/N。N为样本总数。
$$\begin{gathered} 权值分布D_1=(w_{11},w_{12}，...,w_{1i}...，w_{1N}),w_{1i}=\frac{1}{N} \\ {D}_1表示，第一次迭代每个样本的权值。w_{11}表示，第1次迭代时的第一个样本的权值。N为样本总数。 \end{gathered}$$
第二步：进行多次迭代
$$\begin{gathered} a)使用具有权值分布D_m（m=1,2,3\dots N)的训练样本集进行学习，得到弱的分类器。 \\ {G}_m(x)取值为-1,1 \\ 意思是，第m次迭代时的弱分类器，将样本x要么分类成-1，要么分类成1.那么根据什么准则得到弱分类器？ \\ 准则为：该弱分类器的误差函数最小，也就是【分错的样本对应的权值之和】最小。 \\ {\epsilon }_m=\sum _{i=1}^N{w}_n^{m}I(y_m(x_n)\ne t_n) \\ b)计算弱分类器G_m（x）的话语权，话语权a_m表示G_m（x）在最终分类器中的重要程度。其中e_m，为上步中的{\epsilon }_m（误差函数的值） \\ {a}_m=\frac{1}{2}\ln \frac{1-e_m}{e_m} \\ 该式是随e_m减小而增大。即误差率小的分类器，在最终分类器的重要程度大。 \\ c）更新训练样本集的权值分布。用于下一轮迭代。其中，被误分的样本的权值会增大，被正确分的权值减小。 \\ {D}_{m+1}=(w_{m+1,1},w_{m+1,2}，...,w_{m+1,i}...，w_{m+1,N})) \\ 公式:w_{m+1,i}=\frac{w_{m,i}}{Z_m}{e}^{-a_m{y}_i{G}_m(x_i)},i=1,2,...,N \\ {Z}_m=\sum _{i=1}^N{w}_{m,i}{e}^{-a_m{y}_i{G}_m(x_i)}，是保证权重和为1 \end{gathered}$$
第三步：迭代完成后，组合弱分类器
$$\begin{gathered} f(x)=\sum _{m=1}^N{a}_m{G}_m(x) \\ 然后，加个sign函数，该函数用于求数值的正负。得到最终的强分类器G（x） \\ {G}_{(x)}=sign(f(x)) \end{gathered}$$
迭代终止条件：
（1）如果当前决策器的训练效果不佳，例如em过大
（2）如果当前Adboost的效果已经很好
（3）达到最大决策器个数

1.2 实际案例解释Adaboost算法流程

给定如下表所示训练数据。假设个体学习器由x（输入）和y（输出）产生，其阈值v（判定正反例的分界线）使该分类器在训练数据集上分类误差率最低。（y=1为正例，y=-1为反例）

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	1	1	1	-1	-1	-1	1	1	1	-1

1.2.1 第一个个体学习器

我们首先认为xi(i=1,2,…,10)的权重是一样的，即每一个数据同等重要。（权重是用来计算误差的）

$$\begin{gathered} (a)：在权值分布为D_1的训练数据上，阈值v取2.5（红线）时分类误差率最低。 \\ 此时x=6,7,8的数据被错分为反例，误差为它们的权重之和e_1=0.1+0.1+0.1=0.3，误差率小于0.5才有意义。 \\ 此时，个体学习器为: \\ {G}_1(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{x<2.5}\\ -1,& \text{x>2.5}\end{array} \\ (b):根据误差e_1，利用公式：a_i=\frac{1}{2}\ln \frac{1-e_i}{e_i}，计算系数a_1=0.4236。 \\ 可以发现只有当e_i<\frac{1}{2}，此时的个体学习器才有意义。 \\ (c)：更新训练数据的权值分布。 \\ 公式:w_{m+1,i}=\frac{w_{m,i}}{Z_m}{e}^{-a_m{y}_i{G}_m(x_i)},i=1,2,...,N \\ {Z}_m=\sum _{i=1}^N{w}_{m,i}{e}^{-a_m{y}_i{G}_m(x_i)}，是保证权重和为1 \end{gathered}$$
我们用python来计算更新后的权重：

import numpy as np

# 定义计算系数a值公式
def get_a(e):
    a = 0.5 * np.log((1-e) / e)
    return a

# 定义个体学习器，预测y值，其中x为样本数据，v为阈值
def G(x,v):
    y = []
    for i in x:
        if i < v:
            y.append(1)
        else:
            y.append(-1)
    return y


# 训练数据
x = [i for i in range(0,10)]
y = [1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1]


# 原始的权重为
w = [0.1,0.1,0.1,0.1,0.1, 0.1,0.1,0.1,0.1,0.1]
def update_w(w,a,y,y_pred):
    w_u = []
    for w_index,w_value in enumerate(w):
        r = w_value * np.exp(-a * y[w_index] * y_pred[w_index])
        w_u.append(r)
    return w_u / np.sum(w_u)

# 误差权重和
e1 = 0.1 + 0.1 + 0.1
# 系数a
a = get_a(e1)
# 阈值v
v = 2.5
# 预测的y值
y_pred = G(x,v)

# 更新权重
w = update_w(w,a,y,y_pred)
w.reshape(-1,10)

可以看到x=6,7,8的数据的权重变大了，而其他数据的权重降低了，这是希望能把之前经常分类错误（经常分类错误，权重会不断变大）的数据能在下一个个体学习器分类正确（记住：权重是用来计算误差的，为了降低误差，选择阈值时会倾向把权重大的分类正确）。

$$\begin{gathered} 此时，f_1(x)=a_1{G}_1(x)=0.4236G_1(x)=\{\begin{array}{ll}0.4236\ast 1,& \text{x<2.5}\\ 0.426\ast (-1),& \text{x>2.5}\end{array} \\ 集成学习器(第一次集成)sign[f_1(x)]=\{\begin{array}{ll}1,& \text{x<2.5}\\ -1,& \text{x>2.5}\end{array} \end{gathered}$$
集成学习器（第一次集成，只有一个个体学习器）在训练数据集上有3个误分类点。

1.2.2 第二个个体学习器

$$\begin{gathered} (a)：在权值分布为D_2的训练数据上，阈值v取8.5（红线）时分类误差率最低。 \\ 此时x=3,4,5的数据被错分为反例，误差为它们的权重之和e_2=0.2143，可以发现，误差率降低了。 \\ 此时，个体学习器为: \\ {G}_2(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{x<8.5}\\ -1,& \text{x>8.5}\end{array} \\ (b):根据误差e_2，计算系数a_2=0.6496。 \\ (c)：更新训练数据的权值分布。 \end{gathered}$$
我们继续用python来计算更新后的权重：

# 误差权重和
e2 = 0.2143
# 系数a
a2 = get_a(e2)
# 阈值v
v = 8.5
y_pred = G(x,v)


# 更新权重
w = update_w(w,a2,y,y_pred)
w.reshape(-1,10)

对比权重D2可以看到x=3,4,5的数据的权重变大了，而其他权重降低了。

1.2.3 第三个个体学习器

$$\begin{gathered} (a)：在权值分布为D_3的训练数据上，阈值v取5.5（红线）时分类误差率最低。 \\ 此时x=0,1,2,9的数据被错分为反例，误差为它们的权重之和e_3=0.1820，可以发现，误差率又降低了。 \\ 此时，个体学习器为: \\ {G}_3(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{x<5.5}\\ -1,& \text{x>5.5}\end{array} \\ (b):根据误差e_3，计算系数a_3=0.7514。 \\ (c)：更新训练数据的权值分布。 \end{gathered}$$

# 误差权重和
e3 = 0.1820
# 系数a
a3 = get_a(e3)
# 阈值v
v = 5.5
y_pred = G(x,v)

print(a3)

# 更新权重
w = update_w(w,a3,y,y_pred)
w.reshape(-1,10)

此时，我们集成学习器表达式：

我们发现此时的集成学习器，在训练数据集上有0个误分类点。

总结如下

对比三个个体学习器我们可以发现，权值很低的数据从侧面说明，它们在前面的学习器经常被分类正确，也就是说它们被分类正确的票数就比较多（α相当于每个分类器的票数），那么之后的个体学习器把它们分类错也没所谓，反正总票数是分类正确的票数多就可以了。

• 例如x=1，前面两次分类对了，获得正确票数0.4236+0.6496=1.0732，第三次错了，获得错误票数0.7514，正确票数多，最终还是分类正确了。为了想办法让分类错误的数据变为分类正确的，后面的个体学习器也在努力。

• 如x=6,第一次分类错误的票数为0.4236，第二次分类正确的票数0.6496，可以看到为了让前面分类错误的数据变为分类正确的，后面个体学习器的重要性（α）需要比前面的大。

1.3 Adaboost算法原理

1.3.1 加法模型

预测函数

类比Adaboost的预测函数，可以知道Adaboost是一个加法模型。

损失函数

回归问题：MSE均方误差

分类问题：指数函数、交叉熵损失

优化方法

使用【前向分布算法】进行优化。

1.3.2 算法原理

1、优化问题：二分类问题

二分类的标签为{-1,1}。注：一定是{-1,1}，不能是{0,1}

2、模型：加法模型
$$f(x)=\sum _{m=1}^M{a}_m{G}_m(x)$$
3、最终分类器
$$G(x)=sign[f(x)]$$
4、损失函数：指数损失函数
$$\begin{gathered} L(y,f(x))=e^{[-yf(x)]} \\ 当G(x)分类正确时候，与y同号，L(y,f(x))<=1,即损失是一个比较小的数 \\ 当G(x)分类错误时候，与y异号，L(y,f(x))>1，即损失是一个比较大的数 \\ 将损失函数视为训练数据的【权值】 \\ {w}_{mi}=e^{[-y_i{f}_{m-1}(x_i)]} \end{gathered}$$

5、优化算法：前向分布算法

极小化损失函数的公式准换

准换公式推导如下

求解转换后的公式

1、优化Gm(x)

2、优化am
$$a_m=\frac{1}{2}\ln \frac{1-e_m}{e_m}$$
公式推导：

首先，将准换后的最小化损失函数的公式，再次进行准换

上式中，只有am为变量，对于此凸优化问题，可以对am求导

令求导后的公式为0

然后，对于分子分母，再除以所有样本的权值之和，进行化简，可以得到公式
$$a_m=\frac{1}{2}\ln \frac{1-e_m}{e_m}$$
3、前向更新fm(x)
$$f_m(x)=f_{m-1}(x)+a_m{G}_m(x)$$
4、更新训练数据权值
$$\begin{gathered} 公式:w_{m+1,i}=\frac{w_{m,i}}{Z_m}{e}^{-a_m{y}_i{G}_m(x_i)},i=1,2,...,N \\ {Z}_m=\sum _{i=1}^N{w}_{m,i}{e}^{-a_m{y}_i{G}_m(x_i)}，是保证权重和为1 \end{gathered}$$
公式推导如下（未归一化）

本篇笔记主要参考如下：
李航老师的<学习统计方法>
https://blog.csdn.net/fuqiuai/article/details/79482487
http://ml.bbbdata.com/site/text/100