说在开头：关于德布罗意的电子波（3）

1923年，德布罗意在求出他的相波之前，康普顿刚好用光子说解释了康普顿效应（记性好的胖友们应该还记得：散射波的波长变长问题），从而带领着粒子军团大举反攻波动。结果好戏才刚开始，倒霉的粒子又不得不放弃全面进攻，因为他们突然发现了电子这个奸细！这真是后院起了好大一把火啊。波动狠狠的嘲笑了死对头粒子，宣称自己取得了决定性的胜利。光子的反击在波动眼中突然变得不值一提了，因为连电子都能搞定，更何况是小小的光子。波动的领导人到处发表演讲：既然德布罗意证明了所有的物质其实本质都是物质波（相波），粒子伪政权又有什么资格盘踞在不属于它的土地上？一切所谓的粒子都只是波的假象，而粒子说只有一个归属——历史的垃圾桶。

德布罗意将第三次波粒战争推向了一个高潮，电子乃至整个物质世界现在都被拉进有关本性的战争中，这使得战争全面升级。

虽然双方大打口水战，但是真正的问题还要从技术上去解决。戴维逊和汤姆逊的电子衍射实验证据确凿无疑，使得粒子方面无法视而不见。粒子说的其中一道战壕是：威尔逊云室，水蒸气在粒子通过时，会以它们为中心凝结成一串水珠，从而在粒子通过之处形成一条清晰的轨迹。利用威尔逊云室，我们可以亲眼看到电子运动的情况，从而进一步研究它和其它粒子相撞的情况，结果它们的表现完全符合经典粒子的规律。粒子的将军们说，电子在感应屏上总是激发出一个小亮点，哪怕是电子组成的衍射团，它还是有一个一个亮点堆积起来的，如果电子是波的话，那么理论上单个电子就能构成整个图像，只不过非常暗淡而已，波动怎么解释呢？

到了1923年夏天，波特和威尔逊用云室进一步肯定了康普顿的论据；1924年波特和盖革的实验则再一次极其有力地支持了光量子的假说。粒子说奇兵深入、屡战屡胜，令波动说为之脑壳疼。与此同时，爱因斯坦收到了一封陌生人的来信，居然还是来自印度。写信的人自称名叫玻色，他谦虚的请爱因斯坦审阅一下他的论文，看能不能在《物理学杂志》上发表。爱因斯坦一开始不以为意，随手翻了几页后马上意识到他收到的是一个意义极为重大的证明。玻色将光看作是不可区分的粒子的集合，从这个简单的假设出发，推导出了普朗克的黑体公式！爱因斯坦亲自翻译成德文，并进一步完善了玻色的思想，发展出后来在量子论中具有举足轻重的：玻色-爱因斯坦统计方法，服从这种统计的粒子被称为玻色子；如之前文章中所说，它们并不遵循泡利不相容原理。玻色-爱因斯坦统计的确立，是粒子在光领域的又一个里程碑式的胜利，仅仅把光简单地看作全同的粒子，就可以解决困扰多时的黑体辐射和其它许许多多的难题。

但无论是粒子还是波动，都没有能在“德布罗意事件”中捞到实质性的好处，1925年，物理学真正走到了一个十字路口，不知道前途何去何从。当时有一个流行的笑话是：物理学家们不得不在星期一、星期三、星期五把世界看成是粒子，而在星期二、星期四、星期六则把世界看成是波，到了星期天，他们不知该如何是好，干脆就待在家里祈祷上帝保佑。不过大时代的黎明终究是会来临，那个带领我们穿越黑暗的人后来回忆说：从1924年到1925年，我们在原子物理方面虽然进入了一个浓云密布的领域，但是已经可以从中看见微光，并展望出一个令人激动的远景。说这话的是一个来自德国的年轻人，他就是沃尔纳.海森堡。（参考自：曹天元-上帝掷骰子吗）

• 开关电源中的电感器

开关电源主要由：开关管（BJT/MOS管），续流二极管（肖特基二极管/快恢复二极管），电感器以及电容器组成；关于这些元件的基本特性，我们在之前的各个专题中已经学习了，当然各位胖友们可能已经忘了个精光，不过没关系，多复习才能更好的掌握嘛；接下来会粗略回顾一下这些器件的某些特性，至于具体原理，我会具体备注要去回顾那个专题的内容。

1，电感器和电容器

我们再来回顾一遍电容的定义：两个导体在一定电压下存储电荷能力的度量。根据电容的定义可得C = dQ/dV，它与电压有直接的关系；而电感L=dφ/dI，与电流有直接的关系，其特性类似于电流源。电容器储存的是静电场能，而电感器储存的是磁场能量，所以从直观上我们对电容器会更加容易理解一些（能够通过示波器直观“感受”到电压而理解电场能量），而对电感器的理解则困难的多，如果对电感器原理已经忘记了，建议再快速回顾一遍（《电感特性原理》和《电感器原理》专题）。

电感和电容特性是对偶的（具体参考《电感器原理》的“理想电感器与电容器”章节），即将电感看成电容的镜像（在电感和电容元件的电压-电流方程中，电压项与电流项互换，可以使方程相互转化），所以从本质来说电容与电感类似，电压与电流类似。如下图所示，为电感和电容的充电电路，电容充电时间常数τ=RC，电感充电时间常数τ=L/R。

但是如上图所示，其并非是真正的对偶关系，因为在开关打开后的部分，电容器电压/电流保持不变；而电感器的电压/电流则是一个未知状态：开关打开后，通过L的电流大小保持不变，此时电流（自由电子）由开关至电感之间的元件和走线提供，所以电感上方会出现一个高负压，电感器外部形成从下而上的电场，最后导致电感器高压电弧放电。

我们在开关电源的实际工作中，电感器并不会串联一个电阻器来进行限流，如上图所示，电感器串联电阻R = 0时，会发生什么现象？

1. 在开关闭合的瞬间，由于电阻器R两端没有压降，根据基尔霍夫第二定律（电压定律），电感器两端电压就是Vin（外部输入电源电压）；

2. 随着时间的变化，电感器两端的电压一直保持不变：Vin；

——电感器两端外加电压为Vin，那么电感器必然会产生大小相同、反向相反的感应电压（-Vin），所以就算绕组导线的电阻值非常小，也不会过流烧毁电感器（具体参考《电感器原理》中“电感器的基本原理”章节）。

3. 此时通过电感器的电流以恒定斜率持续增加，理论上将达到无穷大：dI(t)/dt = Vin/L。

——因为只要电感器两端存在电压，电感器电流就必须有变化（变化率是常数，其值为Vin/L），直到磁饱和，最终过流并烧毁电感器；如果流过电感器的电流不变，那么电感器的阻抗为0（相当于一条导线），根据I = V/R可得：电流就会急剧增大。

2，电感器放电

我们在上一节分析了电感器在电压源下开关关断瞬间的状态，如下图所示，电感器两端出现极高的电压（负压），同时电流以陡峭的斜率迅速下降为0。但是在开关关断瞬间，电感器两端的电压尖峰值是多少呢？

我们先来做定性分析：在开关关断阶段，根据电感器的特性，电流始终要保持连续，而电感器两端触点的电压会急剧增加直至形成一个短电弧。如果触点间距增加，那么电压会自动增加以触发电弧，此时电流将以陡峭的斜率直线下降，而且只要电感器有储能，那么电弧就会一直持续，直到电流完全为0（电流下降斜率为V/L），因此最终要将全部电感储能化作电弧，以光和热的形式泄放掉。

在开关关断时，电感器中必须泄放的能量称为反激能量，强迫连续导通的电流称为续流电流。电感器的储存能量的大小与流过电流大小有关：P =1/2 * L* I²，如果流过电感器的电流不连续，那么意味着能量也不连续，这是不允许发生的事情。但是电流的变化率：dI/dt是可以瞬间改变的，如下图所示：

1. 开关闭合时电流从直流电压源正端流出，所以电感器上端电压高于下端电压；

2. 此后断开开关，电流要保持连续，且与原电流方向相同，因此此时电感看成一个电压源（电压源从正极流出，流入负极），维持电流连续，使得电感器下端电压高于上端电压；

3. 从这个角度来看，为维持电流连续，电感器电压需要发生反向；流过电感器的电流从一条具有上升斜率（储能）的曲线跳变成下降斜率（释放能量）的曲线。

——用电感器本身特性来分析其电磁感应电压的方向：电感器要阻止其内部电流的变化；所以当开关闭合时电感器电流增加，感应电压与电流方向相反（上低下高）；当开关断开时电感器电流减小，感应电压与电流方向相同（上高下低）；所以我们看到在开关闭合和断开时，电感器的感应电压方向是不同的。

3，开关电源变换器中的电感器

如下图所示，电感器电流在开关闭合时经正向电压（VON = VIN-VO）作用上升，在开关断开后必然受到反向电压（VOFF = 0-VO）作用下降。通过电感方程V = L*ΔI/Δt可得，VON = L*ΔIon/ton；VOFF = L*ΔIoff/toff。如果开关导通阶段的电流增量（ΔIon）恰好等于开关关断阶段的电流减量（ΔIoff），那么我们可以认为电源电路达到了稳态，即：每一个开关周期都准确复制了上一个开关周期，为输出电容器和负载持续不断的传输稳定（完全相同）的能量包。

——在开关电源实际工作中，稳态只是暂时的状态，一般情况下在后续各开关周期内，电流的净增量或净减量会逐步积累，电路状态是持续变化的。

当然要让电路达到稳态也并非是很困难的事情，只要输入电压和输出负载稳定，再通过电源环路稳定性设计，电源会自发地达到稳态工作，并一直保持下去。所以任何开关电源拓扑必须要能达到ΔIon = ΔIoff所描述的状态，若达不到则不是一个有效拓扑；然而电感方程和稳态定义仅涉及电流的增减量（ΔI），并不涉及开关周期内的电感器电流绝对值。根据在开关周期内电感器电流的状态不同，分为多种模式：

1. 连续导通模式（CCM）：电流在每个开关周期内都会回复到0（如下图阴影部分：VON*ton = VOFF*toff）；在所有情况下电感器电压在开、关状态下总是反向的，而且电流上升斜率为VON /L，电流下降斜率为VOFF /L；

——根据伏秒定律，图中两块阴影区域的面积必然相等（VON*ton = VOFF*toff），所有达到稳态的工作模式都满足该条件。

2. 临界导通模式（BCM）：降低电感器电流最小值至0，正好介于连续导通和断续导通模式之间，我们可以将它看作是连续导通模式的一种；

——当然也可以看成断续模式的一种，但是连续导通模式相对更加简单。

3. 断续导通模式（DCM）：电流无论如何变化，其值始终大于0；

——该模式在非同步开关电源拓扑中，续流二极管的反向截止阻断了反偏电流，并防止电感电流变负，此时电感电流保持为0，所以其储能为0，电感电压也为0；断续导通模式下，有一段时间电感器中并无电流流过，因此平均电感器电流计算比较复杂，导致断续导通模式下的方程看起来非常复杂。

4. 强迫连续导通模式（FCCM）：采用MOS管替代续流二极管（同步开关电源），允许续流电流反向流过，从而允许电感器电流变为负值（反向流动）；此时电感器电压保持不变，因为电流变化的趋势不变，电感器继续储能。

——虽然电感器中会出现负电流（反向电流），但是其平均电流为正，因为能量传输的方向整体是从电源流向负载端的（可用坡印亭矢量分析）。

——同步拓扑中的MOS管的导通压降远低于二极管，使得续流器件的导通损耗显著降低，而且允许电感器反向流过电流，此时变换器就不会转换到断续导通模式。

有一个问题是：平均电感电流（IL）与负载电流（IO）有什么关系呢？

这取决于不同的拓扑，在降压拓扑中：

1. 平均电感电流就是负载电流（IL=IO），因为电感器串接在输出端，所有输出电流必然经过电感器；

2. 在升压拓扑和升降压拓扑中：平均电感电流（IL）与负载电流（IO）成正比。

3. 所以我们得到一个结论：任何拓扑，只要降低负载电流（IO）就可以降低平均电感电流（IL）。

4，伏秒定律

上面我们已经提到了一下伏秒定律，那什么是伏秒定律呢？

还是先从电感方程开始：V = L* ΔI/Δt，当电源处于稳态时：ΔIon = ΔIoff = ΔI；所以VON*ton = L*ΔIon = L*ΔIoff = VOFF*toff；就可以得到了结论，在电源电路稳态时：VON*ton = VOFF*toff；好，那我们知道V是电压（单位：伏），t是时间（单位：秒），电感器电压与作用时间的乘积就称为：伏秒积。

——电源稳态时要求：开关导通阶段（电感器电流上升）伏秒积的幅值必然等于关断阶段（电感器电流下降）伏秒积的幅值，但符号相反。

如果用图来表示，如下图所示，开关导通和关断阶段的电压和时间的乘积为阴影部分，两者面积必然相等。即稳态工作时，任何开关周期内，电感器电压曲线的净面积必然为0。现在开关电源的工作频率都很高（几百KHZ以上），所以伏秒积是一个很小的值，为了便于处理使用Et（伏微秒积）来表示，而开关电源变换器中的电感器感值一般也是以uH计算，所以可以将公式变为：ΔI = Et/L；其中L单位为uH。

那如果电路并非处于稳态，即电感器电流没有回复到初始状态，会发生什么事情呢？

开关电源中电感器电流满足ΔIon = ΔIoff的条件，表示电感器复位成功（电感器能量储存增加的量 = 能量消耗减少的量）；如果没有复位成功，那么电感器电流就会持续增加（或减小），直至超过电感器的额定电流，从而导致电感器磁芯饱和或烧毁，这样的开关拓扑是不稳定的；即：任何电感器无法复位的电路结构都不可能称为有效的开关拓扑。

我们从伏秒定律公式：VON*ton = VOFF*toff可得：ton/toff = Voff/Von = Vo/(Vin-Vo)；定义电源变换器占空比D为开关的导通时间与开关周期之比，D = ton/T = ton/(ton+toff) = Vo/Vin；其中toff = T – ton仅在连续导通模式下成立。我们可以看到通过伏秒定律得到了降压拓扑下，占空比与输入/输出电压的关系。

——同样根据能量守恒原理，假设在理想情况下电源转换效率为100%（Pin = Po），Pin = Vin*Iin*ton（一个周期内只有ton时间内输出功率），Po= Vo*Io*T（在整个周期连续输出功率）；由于在稳态时Iin平均电流与整个周期内电流相等Iin = Io = I，所以Pin = Vin*I*ton = Po = Vo*I*T，可得Vin*ton = Vo*T，占空比：D = ton/T = Vo/Vin。