说在开头：关于薛定谔的波动方程（2）

全新的量子理论诞生不到一年，很快面临着粒子和波动的内战。矩阵力学从直接观测到的原子谱线出发，引入矩阵的数学工具，建立了整个新力学的大厦；它强调观测到的分立性，跳跃性，同时又坚持以数学为唯一导向，不为日常生活的直观经验所迷惑；而另外一条道路，则以德布罗意的理论为切入点，强调电子作为波的连续性一面，以波动方程来描述它的行为。矩阵力学理论的核心人物是海森堡、玻恩、约尔当，而他们背后的精神力量，无疑是哥本哈根的伟大“教皇”尼尔斯.玻尔；波动力学则以德布罗意和薛定谔为主将，而他们背后的精神领袖是爱因斯坦。

到了1926年4月，薛定谔、泡利、约尔当都各自证明了两种力学在数学上来说是完全等价的。因为它们都是从经典的哈密顿函数而来，只不过一个是从粒子的运动方程出发，另一个是从波动方程出发而已。从矩阵出发可以推导出波动函数的表达形式，而反过来也一样。但是数学上的统一，却掩盖不了两者意识形态上的鸿沟：矩阵的本意是粒子性和不连续性，而波动则谈它的波动性和连续性。两者完全不可调和。薛定谔说：“只有波才是唯一的存在，不管电子也好，光子也罢，或则任何粒子，都只是浮云啊；它们本质上都是波，都可以用波动方程来表达基本的运动方式”。海森堡则说：“拉倒吧，物理世界的基本现象是离散性，大量的实验事实证明了这一点：从原子的光谱，到康普顿的实验，从光电现象到原子中电子在能级间的跳跃，都无可辩驳地显示出大自然是不连续的，虽然你那波动方程在数学上还不赖，但我们必须认识到，我们不能按照传统的那种方式去认识它。”薛定谔又说：“恰恰相反，它就是那个意思；波函数在各个方向上都是连续的，它可以看成是某种振动；事实上，我们必须把电子想象成一种驻波的本征振动，所谓电子的跃迁只不过是它振动方式的改变而已，没有什么轨道，也没有什么能级，只有波！”两个人的理念完全相反，简直就是牛头不对马嘴！

1926年9月底，薛定谔应玻尔的邀请来到哥本哈根，玻尔亲自到火车站去接他，然后就住到了玻尔家里；争论从出火车站的一刻就开始了，日日夜夜，无休无止；薛定谔起初不知玻尔的性情，不慎住进了龙堂虎穴，那几天玻尔整天陪着薛定谔，玻尔总有问不完的问题，而哥本哈根那帮青年才俊也是火力全开，薛定谔招架不住了，即便是休息时间也不得安宁；玻尔开启了全天候讨论模式，而且玻尔反应比较慢，经常要别人讲好几遍才能理解。这种强度，即便是那群物理男孩也扛不住啊，更不用说已经年过不惑的薛定谔了，薛定谔很快就病倒了。玻尔夫人负责照顾薛定谔，玻尔也在床前陪着。薛定谔不由感叹：我这是来这里干嘛来了啊，造孽啊。玻尔还安慰他：你不要这么想嘛，我们觉得你的理论很不错，才会让你来给我们讲讲，只是还有一些问题我们还没搞清楚啊，你再看看……。玻尔还要再问，一旁的玻尔夫人实在看不下去，把玻尔拉开了。玻尔平日里是一个和蔼可亲的人，但一旦卷入这种物理争论，他看起来就像是一个偏执狂，决不妥协一步；物理问题的争论，在很大程度上已经变成了哲学之争。

经典理论已经倒塌了，现在矩阵力学和波动学两座大厦拔地而起，它们之间相互联系，但又互不关联。薛定谔相信，波动这一简明形象的概念将再次统治物理世界，从而把一切都归结到一个统一的理论中去；不幸的是，薛定谔猜错了。（参考自：吴京平-无中生有的世界；曹天元-上帝掷骰子吗）

一，正激变换器拓扑

正激变换器是指：在开关管导通时，电流和能量流入负载。包括：BUCK拓扑、推挽、正激式、半桥、全桥变换器等。

反激变换器指：在开关管导通时，电流和能量存储在电感器或变压器原边，然后在开关管关断时将能量传递给负载。包括：BOOST、BUCK-BOOST以及反极性变换器等。

BUCK、BOOST以及BUCK-BOOST开关电源是基本开关电源拓扑，一个显著的缺点是：输入、输出回路必须共地，否则就不能成为有效的开关电源拓扑（忘记的同学，请复习《基本开关电源拓扑》相关章节），而隔离式开关电源可以通过变压器将能量传递给负载端，输入、输出回路不共地，同时利用变压器多个副边绕阻能够简单地实现多路输出。

1，推挽式拓扑

1.1推挽式拓扑结构和特点

推挽式拓扑如下图所示，可以看成BUCK拓扑的变种：输入电源Vdc与开关串联，输出电源Vm与电感器（L1）串联，中间通过整流二极管接至GND；以Vm输出电源为例，推挽式拓扑主要由：Q1/Q2开关，T1变压器，D1/D2二极管，L1滤波电感器以及输出电容C1组成，具体结构及工作描述如下。

1. 推挽式拓扑T1为带多个副边的变压器：

1,变压器原边是两个对称线圈（Np1=Np2）：两只开关管接成对称开关，轮流通断；

(1)如果Q1和Q2同时关断，那么变压器原边断开没有电流通过，没有能量从原边传输至副边；

(2)如果Q1和Q2同时导通，那么原边线圈Np1和Np2中有同等大小的电流通过；

——如上图Np1和Np2的电流方向相反（Np1：异名端->同名端；Np2：同名端->异名端），变压器磁芯中磁通量相互抵消，此时变压器失效（感抗为0），输入电源Vdc通过Q1和Q2直接接到GND。所以推挽式拓扑正常工作时，Q1和Q2只能轮流通断。

2, 副边绕组提供一组相位差180°的方波脉冲，脉冲幅值由副边绕组匝数决定；

——副边电压取决于Np和Nm之间的绕组匝数比，即：Vo/Vdc = Nm/Np = n（电压比等于原副边绕组之比，具体理论推导参考：《电感器分类》中“变压器”章节）。

3, 所有副边绕组的脉冲宽度相同，均由主输出Vm的负反馈控制电路决定。

——如上图所示，推挽式拓扑虽然可以允许多路且不同电压的输出，但只有一个开关电源控制器和反馈环路，所有输出电源电压均取决于Vm的反馈，若Vs1和Vs2输出电源发生波动，将得不到反馈补偿，即：Vs1和Vs2输出输出电压精度比较差。

2. 使用两个幅值相等，脉宽可调，相位相差180°的脉冲驱动开关管：Q1和Q2。

1, 开关管（MOS管）驱动电压要足够大，使开关处于饱和导通状态；

——对于MOS管来说必须尽快的工作在饱和导通状态，既能使原边线圈电流尽量大，又使MOS管本身损耗尽量少，所以开关电源MOS管G极的驱动电流非常大（几A），从而产生振荡（具体参考《MOS管特性和应用》）。

2, 当任意一个开关管Q1/Q2打开时，都提供给原边半绕组幅值为：Vdc-VQ的电压方波（假如开关管压降为VQ）；

3, 如下左图所示，开关管Q1/Q2并非完全同步导通/关断，而是有一定的错开时间，会导致Q1或Q2关断瞬间产生一个漏感电压尖峰（具体原理参考：《电感器分类》），且在另外一个开关管导通时，在开关管两端产生2*Vdc的电压（推挽拓扑的其中一个大缺点：对开关管的耐压要求非常高）。

——Q1/Q2非完全同步导通/关断，有两方面考虑：（1）降压拓扑导通占空比要求；（2）同步电源拓扑“死区”时间的要求，避免同时导通导致开关管损坏。

——在Q2导通Q1关断时，Np2绕组两端电压是Vdc，根据变压器工作原理Np2同名端相对异名端的电压也是Vdc，所以Np2同名端电压（Q1开关管电压）VQ1 = Vdc+Vdc = 2* Vdc；同理Q1导通Q2关断时，Q2开关管电压VQ2=2* Vdc。

3. 整流二极管D1/D2，正向压降为Vd，如有上图所示；

1, 输出导通时间为Ton，那么输出电压（电感器L1左侧）幅值为：（Vdc-VQ）*（Ns/Np）- Vd的方波；

2, 对于两个整流二极管，平均每T/2时间有Ton时间打开，那么D1和D2总共输出脉冲占空比为：2Ton/T（推挽拓扑的其中一个大优点：电源利用率高）。

——对于电感器L1来说，TL1ON=2*Ton，TL1OFF= T-2*Ton。

4. 将Vm接入负反馈，以控制导通时间Ton，Vm将随着直流输入电压和输出负载电流的变化来调整输出，以使Vm保持不变；

1, 只要L1不随负载电流的减小进入不连续工作模式，导通时间Ton就变化不大：Vm=[(Vdc-VQ)*(Nm/Np)-Vd]*2Ton/T；

2, Vs1和Vs2的方波宽度与主输出相同，由输出Vm的反馈环确定Ton：Vs1=[(Vdc-VQ)*(Ns1/Np)-Vd]*2Ton/T；Vs2=[(Vdc-VQ)*(Ns2/Np)-Vd]*2Ton/T。

通过对推挽拓扑的分析，我们可以总结其特点如下：

1. 主要优点：

1, 变压器磁芯利用率高（在两个半周期中都传输功率），输出功率大，可达几百W；

2, 电流瞬态响应速度快（开关周期是T/2，相当于工作频率加倍），电压输出特性好（相比于半桥），电压利用率高；

3, 输出电压特性很好：输出电压脉动系数和电流脉动系数都很小（工作频率加倍），只需要很小值的储能滤波电容器或储能滤波电感器就可以得到一个电压纹波和电流纹波很小的输出电压；

4, 工作效率高：推挽式开关电源变压器漏感及铜阻损耗更小；它属于双极性磁化，磁感应变化范围是单极性磁化的两倍，其铁芯磁导率更高，线圈匝数少一半以上；

5, 俩开关管有一个公共接地端，驱动电路简单（相对半桥、全桥开关，下面半桥/全桥拓扑时分析）。

2. 主要缺点：

1, Q1和Q2两个开关管耐压要求高，开关管耐压是输入电压的两倍：2*Vdc；

2, 比反激式开关电源输出电压的调整范围小很多，并需要一个储能滤波电感；

3, 开关管Q1、Q2导通时间的细微差别，都会导致开关Q1导通阶段和Q2导通阶段施加的伏秒数不相同，从而使得每个工作周期中磁芯发生偏向，经过一段时间后变压器磁饱和，从而导致开关管过流损坏；针对磁通不平衡问题的处理方法很多，例如采用电流模式拓扑，但从成本来看还是或多或少存在缺陷。

——如下图所示，如果Q1导通施加在Np1的伏秒数与Q2导通时施加在Np2上的伏秒数完全相等，那么磁芯就能从B1上升至B2又正好返回至B1，但只要稍微不等，磁芯就不能回到起点（Q1，Q2打开时间不可能完全相同），若干周期后磁芯将偏离磁滞回线，进入饱和区；举个栗子，开始只有0.01%的磁通不平衡，只需10000个周期，磁芯磁通奇点就会从B1偏移到最高的B2。

1.2推挽式拓扑设计关注点

1. 对于开关管最大导通时间的限制：当Vdc下降时会增加开关导通时间Ton来维持输出电压Vm的稳定，所以当输入电压Vdc最小时，导通时间Ton最大，但是最大导通时间Ton不能超过半开关周期，需限制导通时间不超过半周期的80%；

——最大导通时间Ton如果超过半周期，如上分析Q1和Q2将会同时导通导致变压器短路，大电流会导致开关管损坏；另外导通时间Ton过长，则磁滞回线可能不能复位，从而磁心饱和导致开关管损坏。

1, 原边匝数Np由原边最小输入电压Vdc-VD，最大导通时间0.8T/2确定， Np=(Vdc-VD)*(0.8T/2)*10+8/Ae*dB；Ae：由磁心决定，dB：磁通变化；

2, 副边绕组匝数Nm由公式： Vm=[(Vdc-VD)*(Nm/Np)-Vd]*2Ton/T计算可得。

2. 初/副边峰值电流：

1, 当输入电压Vdc为最小值、Ton为0.8T/2时，输入电流最大；斜坡脉冲电流等效为平顶电流Ipft，其为斜坡脉冲电流中间值；

2, 假设电源效率为80%，Pin=1.25Po=Vdc*0.8Ipft，即Ipft=1.56*Po/Vdc；

3, 根据Ipft值可选择合适（导通电流和电压差）的开关管，以及原边绕阻线径；

3. 功率开关管：

1, 如下图所示，开关管Q1/Q2最大关断电压应力来自漏感尖峰，比输入直流电压Vdc的2倍还要大；

2, 关断瞬间开关管流过的电流以dI/dT快速下降，产生以漏感底端为正，幅值为E1s=L1*dI/dT的尖峰；

3, 所以需要在开关管集电极端设计：电容、电阻和二极管网络（RCD），可以减小漏感尖峰（关于漏感尖峰吸收RCD电路设计，后续介绍），一般设计为两倍最大输入电压的30%；

4, 开关管在考虑降额后的最大耐压值为：Vms=1.3*（2Vdc）；

4. 储能电感器（如下图L0）：主输出和从输出的电感器都不允许进入不连续工作模式（参考Buck）；

1, 不连续工作是从电感阶梯斜坡电流的阶梯下降至0开始的，这种情况会在直流电流下降至交流电流（纹波电流）dI一半时发生：dI=2*Idc=VL* Ton/Lo = (V1-V0) * Ton/L0；

2, 因为V0=V1*(2*Ton)/T（根据Buck拓扑直流传递函数），那么Ton= V0*T/(2*V1) ；

3, 选取Ns使Vdc及相应V1最小时导通时间Ton=0.8T/2，0.8T/2 = V0*T/(2*V1) => V1=1.25*V0 => L0= 0.05*V0*T/Idc；

4, 如果最小电流Idc规定为额定电流Ion的1/10，那么L0= 0.5*V0*T/Ion；

——其中Idc：最小输出电流；Ion：额定输出电流。

（2）输出电容：

满足最大输出纹波电压要求和电源动态响应的要求，具体参考Buck拓扑电源输出电容器计算。

2，正激式拓扑

2.1正激式拓扑结构和特点

推挽式拓扑结构中存在一个重要的缺点：变压器磁芯会偏，导致磁芯饱和。该问题会导致开关电源拓扑不能长时间稳定工作，所以由推挽拓扑派生出来一个新的电源拓扑：正激式开关电源拓扑；如下图所示。

正激式开关电源拓扑有如下特点：

1. 没有磁通不平衡的问题（具体在如下工作流程中分析）；

2. 只有1个开关管，推挽电路中的Q2被二极管D1所取代，相对推挽拓扑电源更加便宜，体积更小；

3. 多路输出电源同推挽拓扑一样：主输出Vom和从输出Vs1和Vs2，电压根据主输出的负反馈，控制Q1的导通时间保持Vom稳定；而Vs1和Vs2只能跟随Vom相对保持稳定。

正激式电源在开关导通和关断时不同节点电压/电流如上图所示。

1. 当Q1导通时：

1,变压器原边Np以及幅边Nm、Ns1和Ns2的同名端相对于异名端为正，整流二极管D2正向偏置，电流从同名端通过D1和L1输入C1滤波电容器和负载；

2, 变压器原边绕组Nr两端电压为正（同名端相对异名端），且绕组上电压为Vdc（Np=Nr），所以此时Vdk电压为2*Vdc；由于D1的存在，绕组Nr上并无电流通过。

2. 当Q1关断时：

1, 存储在变压器T1的能量使Np的电压反向（Np异名端电压迅速上升并远大于Vdc），此时所有绕组原/副边的同名端相对异名端为负，整流二极管D5正向偏置，电流从同名端通过D5和L1输入C1滤波电容器和负载；

2, Q1关断时（T-Toff）D5导通，被钳位于低于GND的续流二极管正向导通电压；此时电感电流方向不变，在T-Ton期间，输出电压：Vomr = -Vd；如下图所示；

3, 变压器原边绕组Nr两端电压为负（同名端相对异名端），绕组Nr上电压为-Vdc（Np=Nr），所以可得Vdk电压为0V；原边绕组电流为从GND通过D1和Nr返回到Vdc。

3. 对于Q1来说，当Q1关断瞬间Np异名端电压为2*Vdc；而且由于漏感尖峰的存在，比较容易击穿Q1，如上右图所示；

4. 根据BUCK拓扑直流传递函数，开关电源输出电压Vom=[((Vdc-Vds)*Nm/Np)-Vd]*Ton/T。

2.2正激式拓扑设计关注点

正激式相比于推挽式最大的优点在于解决了变压器磁芯平衡问题，那它是如何实现的呢？

我们可以看到原边线圈两个绕组匝数：Np = Nr；在开关管导通时电流流过Np，电压为：Vdc-VD；在开关管关断时电流流过Nr，电压为：-Vd-Vdc；根据伏秒定律，只要Ton<Toff的时间，就能保证变压器磁芯恢复到磁滞回线起点位置；所以我们设计在输入电压Vdc最小时（Vdc最小时，占空比需求最大，具体后续章节详细分析），导通时间Ton为半周期的80%（预留裕量，避免变压器差异或温度变化导致异常情况）。

——VD为MOS管导通电压，Vd为二极管导通电压；解决磁芯平衡的同时，牺牲了变压器磁芯利用效率，推挽式拓扑中Ton最大可占到周期的80%，此时磁芯的磁滞回线是正激式拓扑的2倍，即：相同变压器下推挽式传输的能量是正激式的2倍。

1. 由导通时间确定匝数比：

1, 电源通过采样Vom电压与参考电压Vref比较，负反馈到PWM调制器改变Ton时间，以保持输出稳定；

2, 考虑极端情况下，Vdc最小输入电压时Ton=0.4T；由Vom=[((Vdc-Vds)*Nm/Np)-Vd]*Ton/T公式，确定Vom输出电压后，就可得到Nm/Np的匝数比。

2. 原边电流，输出功率和输入电压的关系：

1, 假设电源转换效率为80%，即Po=0.8Pin，若以最小输入电压Vdc来计算Pin，那么Pin为Vdc和原边电流平均值的乘积；

2, 由于直流输入电压最小时，这些阶梯斜坡宽度为0.8T/2，原边脉冲电流的占空比为40%；

3, 将斜坡电流等效为同样脉宽平顶电流（如下图所示），其幅值为斜坡电流中点值：Ipft；那么整个周期电流平均值为：0.4*Ipft；那么Pin=1.25Po=Vdc*(0.4Ipft)=> Ipft=3.13*Po/Vdc；

4, 根据上式可计算输入电流大小，从而选择合适的（导通电流和导通压降）开关管；相同最小输入电压及总输出功率条件下，正激式拓扑Ipft是推挽式拓扑Ipft的2倍（即相同电流下推挽式拓扑的输出功率是正激式的2倍）。

3. 功率开关管设计同推挽式拓扑。

4. 输入电压和输出功率的限制：

1, 正激变式拓扑每个周期只有一个电流脉冲（推挽式有两个），较大输出功率时，原边电流会太大；

2, 原边电流大，会导致电源/GND噪声和RF干扰等EMC问题增加。

——正激式拓扑相对推挽式拓扑需要饱和电流更大的变压器和开关管（MOS管），所以同样输出功率情况下，正激式拓扑的价格更贵，体积更大。

5. 输出电感器设计（如下图L1）：主输出和从输出的电感器都不允许进入不连续工作模式（参考Buck）；

1, 当电感阶梯斜坡电流的阶梯降为0时将出现不连续状态；不连续状态在最小电流Idc等于交流电流dI（纹波电流）值的一半时开始：dI=2*Idc=(Vrk-Vo)*Ton/L1，Vo=Vrk*Ton/T；那么L1=(Vo*T/Ton-Vo)*Ton/(2*Idc)=Vo*(T/Ton-1)*Ton/2Idc；

2, 由于Ton=0.4T，那么L1=0.3Vo*T/Idc；假设最小输出电流Idc为额定输出电流的1/10，那么：L1=3Vo*T/Ion。