494. 目标和

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思路

首先，将这道题想成 0-1背包问题，我们最终要输出的结果是最多的方法数，因此 dp 数组需要记录具体的方法数。

状态定义

按照 0-1 背包问题的套路，我们将状态定义为：dp[i][j] ，表示「前 i 个数字，和等于 j 的情况下，能够达到的不同表达式的最大数目」。

状态转移方程

我们以 nums = [1, 1, 1] 为例，很容易可以发现： dp[i][j] 取决于「前 i-1 个元素的和」与「当前元素的值」的关系 ，我们要从某个值得到 j，j 可以由该值加上 nums[i]得到，也可以由该值减去 nums[i]得到。即 dp[i][j] = dp[i-1][j-nums[i-1]] + dp[i-1][j+nums[i-1]];

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进一步思考：下标转换

但是从上面的例子可以看出，和可能为负数，而下标不可能小于 0，那么我们如何防止下标越界呢？

我们不妨改变下标的取值范围，对于 nums = [1, 1, 1] 来说，我们先计算它的最大和：3(1+1+1)，记为 sum，运算结果的取值范围是：[-3，3]，我们可以对这个范围的数都加上 sum ，变成 [0， 6]，这样就解决了下标越界的问题。

所以最终的状态转移方程为：dp[i][j+sum] += dp[i-1][j-nums[i-1]+sum]; ，dp[i][j+sum] += dp[i-1][j+nums[i-1]+sum]; ，凡是 j 值我都加上了 sum。

初始化

我们需要初始化 nums[0] 可以构造出的运算结果，即 dp[1][nums[0]+sum] += 1, dp[1][-nums[0]+sum] += 1; 。

这里需要考虑 +nums[0] 和 -nums[0] 两种情况，我没有直接置为 1 ，是因为考虑到 nums[0] = 0 的情况，+0 和 -0 分别代表运算结果为 0 的两种表达式，这种代码书写方式更为通用。

此外，为了防止下标越界，我将 j 值加上了 sum。

最终的返回结果

最终返回 n 个数字，和等于 target 的情况下能达到的不同表达式的最大数目，同样地，target 也需要加上 sum ，即dp[n][target+sum]; 。

注意点

为了方便计算，我们在开头进行特殊判断，如果 sum 小于 target 的绝对值，说明无法构造出表达式，直接返回 0；
需要判断 j 的边界，不然很容易出现下标越界的问题。

代码

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        // 特判：不可能构造出表达式
        if(sum < abs(target))  return 0;

        int n = nums.size();
        vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(sum*2+1, 0));
        // 初始化
        // 通过nums[0]能够构造出一种等于target的表达式 +1
        dp[1][nums[0]+sum] += 1, dp[1][-nums[0]+sum] += 1;

        for(int i=2; i<=n; ++i){
            for(int j=-sum; j<=sum; ++j){
                if(j-nums[i-1]+sum>=0 && j-nums[i-1]+sum<=sum*2 && dp[i-1][j-nums[i-1]+sum] > 0){
                    dp[i][j+sum] += dp[i-1][j-nums[i-1]+sum];
                }                
                if(j+nums[i-1]+sum>=0 && j+nums[i-1]+sum<=sum*2 && dp[i-1][j+nums[i-1]+sum] > 0){
                    dp[i][j+sum] += dp[i-1][j+nums[i-1]+sum];
                }
            }
        }
        return dp[n][target+sum];
    }
};