运筹说第75期 | 数学家欧拉也玩跨界

news2024/11/28 4:30:12

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。欧拉杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远值得我们学习。

01 著作等身

-童年尽显才学天赋

欧拉小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教。1720年，年仅13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学，成为了这所大学乃至整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。同时，欧拉还得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导。这在当时被看做是个奇迹，曾轰动了数学界。

-毕生著作浩瀚如烟

欧拉从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪的时间里他总共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。

-数学领域贡献颇多

如今，几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清。欧拉对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为"分析学的化身"。

除著作之外，欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等。

欧拉发明的欧拉公式曾被称为“上帝公式”，里面最著名的有拓扑学的多面体公式，幅角公式，以及初等的数论中的函数的公式。我们所学的级数、概率、函数等很多都是根据欧拉发明的这个公式所衍生出来的。

02 身残志坚

-独眼巨人丈量世界

在欧拉的数学生涯中，他的视力一直在恶化。在1735年一次几乎致命的发热后的三年，他的右眼近乎失明，但他把这归咎于他为圣彼得堡科学院进行的辛苦的地图学工作。视力在他在德国期间也持续恶化，以至于弗雷德里克把他誉为“独眼巨人”。欧拉的原本正常的左眼后来又遭受了白内障的困扰。在他于1766年被查出有白内障的几个星期后，导致了他的近乎完全失明。

沉重的打击并没有使欧拉倒下，他以惊人的毅力，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世。欧拉可以从头到尾不犹豫地背诵维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》，并能指出他所背诵的那个版本的每一页的第一行和最后一行是什么。当大火烧掉他几乎全部的著述之后，欧拉用了一年的时间口述了所有这些论文并作了修订。欧拉失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。在书记员的帮助下，欧拉在多个领域的研究反而变得比之前更加高产了。在1775年，他平均每周就完成一篇数学论文。

03 跨界大师

-数学音乐跨界“联名”

1739年，欧拉写下了《音乐新理论的尝试》(Tentamen novae theoriae musicae)，书中试图把数学和音乐结合起来。一位传记作家写道：这是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"著作。

-数独前身趣味游戏

18世纪的欧洲，数学家莱昂哈德·欧拉总结了当时流行的一种填字游戏，称为“拉丁方阵”（Latin square）。游戏的规则即是在n阶的方形网格中填入n种拉丁字母（类似于2阶数独中，填入数字1~2，而3阶数独中填入1~3），使得每行、每列的字母都不会重复。这种方阵不限于9阶，也没有宫的限制，但保留了数独最基本的“每行每列不重复”的要求。

不过让欧拉着迷的是拉丁方阵的一种更复杂的版本。欧拉考虑往每个格子中填入一个拉丁字母和一个希腊字母，使得每行、每列的字母都不会重复，并且每个格子中的希腊-拉丁字母对也不重复。这种方阵叫做“希腊-拉丁方阵”（Graeco-Latin square），其实质是将两个正交拉丁方阵（orthogonal Latin squares）并成一个方阵，这里的“正交”是指两个方阵对应格子组成的有序对不重复。这便是后来20世纪开始风靡全球的数独游戏的前身。