卫星下行链路预算模型

1. 接收端天线模型

简单一些，考虑地球同步卫星多波束通信系统，波束指向固定。波束数量为$N_b$.

波束中心在地面的位置可以用经度向量和纬度向量表示:
$$\begin{gathered} {\vec{P}}_{lg}=[l_1,l_2,...,l_{N_b}] \\ {\vec{P}}_{la}=[a_1,a_2,...,a_{N_b}] \end{gathered}$$
通过波束中心在地面的位置, 可以计算出各个波束中心之间的距离. 这些距离保存在距离矩阵$\mathbf{D}\in {\mathbb{R}}^{N_b\times N_b}$中, 这是一个对称矩阵. $d_{i,j}$表示第$i$个波束中心和第$j$个波束中心的距离.

如图所示, 我们可以几何关系, 根据各波束中心点之间的距离推导出$\mathbf{\Theta }$矩阵. 这也是一个对称矩阵,$\mathbf{\Theta }$中的元素 ${\theta }_{i,j}$表示第$i$个波束里的用户到卫星的连线和第$j$个波束的波束瞄准线之间的夹角. 具体公式如下:
$${\theta }_{i,j}=\arccos \left(R+h-R\cdot \cos \left(\frac{d_{i,j}}{R}\right)\cdot {\left\{h^2+2\cdot R\cdot (R+h)\cdot \left[1-\cos \left(\frac{d_{i,j}}{R}\right)\right]\right\}}^{-\frac{1}{2}}\right)$$
其中$R$为地球半径, $h$为卫星高度

根据$\mathbf{\Theta }$矩阵, 可以推导出第$i$个波束中的用户对于第$j$个波束所传输信号的接收天线增益$g_R(i,j)$
$$g_R(i,j)=G_{Rm}{\left(\frac{J_1(u_{u,j})}{2u_{i,j}}+36\frac{J_3(u_{i,j})}{u_{i,j}^3}\right)}^2$$
其中$u_{i,j}=2.07123\frac{\sin {\theta }_{i,j}}{\sin {\theta }_{3dB}}$

${\theta }_{3dB}$为接收天线的半功率波束宽度角度。

$g_R(i,j)$的构成的矩阵记作${\mathbf{G}}_{\mathbf{R}}\in {\mathbb{R}}^{N_b\times N_b}$, 称为接收天线增益矩阵, 这也是一个对称矩阵.

2. 传播损耗模型

损耗模型

3. 总链路模型

$$\mathbf{H}=\mathbf{L}{\mathbf{G}}_{\mathbf{R}}{\mathbf{G}}_{\mathbf{T}}$$

L是一个对角阵, G_T也是一个对角矩阵,注意到这边他们的左乘和右乘.