蒟蒻来讲题，还望大家喜。若哪有问题，大家尽可提！

Hello, 大家好哇！本初中生蒟蒻讲解一下Acjudge #P1004. 整除三元组!

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原题

题目背景

潍坊高新OI社区打算开讲“数论”了，大家赶紧来学习一下“整除”吧。

题目描述

给你两个整数n和m,希望你构造出尽可能多的三元组$(x,y,z)$(注意： $x,y,z$是小于等于$n$的正整数）。 使得三元组中的$x+y,x+z,y+z$都能够被$m$整除，一共有多少满足题意的三元组呢？

注意：顺序不同的三元组，是不同的方案排列

数据格式

输入格式

一行共两个整数n和m.

输出格式

输出一个整数, 表示满足条件的方案数

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思路

根据$x+y,x+z,y+z$都能够被$m$整除
我们可以得出$x\equiv y\equiv z(mod$ $m)$

得出条件：

1. $x\equiv y\equiv z(mod$ $m)$
2. $x,y,z\le n$

两种情况：

情况一(A级)：
$x,y,z$均为m的倍数
此时$x,y,z$可以取得数的个数为$\lfloor \frac{n}{m}\rfloor$，所以通过乘法原理得此时的方案数就是${\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }^3$
情况二(A级)：
$x,y,z$都不是m的倍数
注:不可能$(x,y,z)$中若干个是m的倍数，其余的不是，因为我们的大前提：$x\equiv y\equiv z(mod$ $m)$

此时，设$t=\lfloor \frac{n}{m}\rfloor$，我们把$0-n$划分成若干个长度为$m$的区域

这时候，又分了两种情况：

情况一(B级)：
$n\%m!=0$（如图）

我们会发现，选择的区域多了一块，长度为$n\%m$，这一块一定可以选吗？

又又又分出了两种情况:

设$len=n\%m$

情况一(C级)：
$x\%m,y\%m,z\%m\le len$
此时我们发现选择的区域有$t+1$个了，此时的方案数就是$(\lfloor \frac{n}{m}\rfloor +1{)}^3$
情况二(C级)：
$x\%m,y\%m,z\%m\ge len$
此时对于$tm-n$这一段区间肯定是选择不到的，因为$len=n\%m$，而$x\%m,y\%m,z\%m\ge len$若$x,y,z$在$tm-(t+1)m$区间内，一定就在$n$的右边，就不符合$x,y,z\le n$这个条件了！

所以，此时的方案数就是${\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }^3$

然后，我们看一下$x\%m,y\%m,z\%m\le len$等于多少，基于$x\equiv y\equiv z(mod$ $m)$，他们都是相等的，考虑其中一个即可，这里我们设$a=x\%m$
我们利用一下题目中给的条件：$(x+y)\%m=0$
再利用模的性质（可以看看这篇文章）得：$(x\%m+y\%m)\%m=0$，即：$2a\%m=0$
由于$a<m$，所以$2a<2m$
故，有两种解：$2a=m或2a=0$
对于$2a=0$，即$a=0$：就是情况一(A级)
对于$2a=m$，即$a=\frac{m}{2}$:此时我们解出了a，也就是$x\%m=\frac{m}{2}$，而m是已知的，所以就可以代入求得是哪一种情况了！
不过，我们发现一个问题！$x,y,z$是整数，那么$x\%m$也一定是整数，可是$\frac{m}{2}$有可能是小数，所以对于$m$不是2的倍数时，情况2（A级）不成立！

情况二(B级)：

这时候，很简单，还是$t$块，所以此时的方案数就是${\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }^3$

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前面出现了不成立的情况，所以总结一下：

1. 若$m$不是2的倍数
   答案为：${\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }^3$
2. 若$m$是2的倍数
   （1）$n\%m=0$ 答案为：$2{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }^3$
   （2）$n\%m!=0$
   \qquad ①$\frac{m}{2}>n\%m$ 答案为：$2{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }^3$
   \qquad ②$\frac{m}{2}\le n\%m$ 答案为：${\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }^3+(\lfloor \frac{n}{m}\rfloor +1{)}^3$

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代码

#include <iostream>
#define int long long

using namespace std;

int n, m;

signed main()
{
	cin >> n >> m;
	
	int res = 0;
	int cnt = n / m;
	
	res += cnt * cnt * cnt;
	
	if (!(m & 1))
		if (n % m == 0)
			res += cnt * cnt * cnt;
		else
		{
			int q = n % m;
			if (m / 2 <= q)
				res += (cnt + 1) * (cnt + 1) * (cnt + 1);
			else
				res += cnt * cnt * cnt;
		}
		
	cout << res << endl;
}

---

今天就到这里了！

大家有什么问题尽管提，我都会尽力回答的！

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