343. 整数拆分（中等）
方法一：数学推导
思路
将数字 n 拆分为若干个数字之和，即 n = n1 + n2 + ... + na ，本道题等价于求解 max(n1 * n2 * ... * na) ，根据数学推导，可以得到两个结论：
- 当所有拆分出的数字相等时，乘积最大。
- 将数字 n 尽可能以因子 3 等分时，乘积最大。
详细推导过程可以参考 证书拆分：数学推导。
拆分规则
有了这两条推论后，我们就将数字尽可能拆成多个 3 ，显然余数有 0、1、2三种情形：
- 余数为 0：这是最好的情况，不需要继续拆分，即
n = 3 * k； - 余数为 1：由于任何数乘以 1 都得到它本身，所以这是最坏情况，我们应该避免这种情况的出现，将其中一份 3+1 替换成 2+2 。
- 余数为 2：应该保留，不需要继续拆分成 1+1。
算法过程
- 如果
n<=3，由于题目要求必须拆分，因此肯定会拆分出一个 1，所以返回 n-1 。 - 如果
n>3，令 n 除以 3，可以得到商 a 和余数 b，即n = 3a + b，那么根据 b 的值会分为以下三种情况：- b = 0：返回
3^a； - b = 1：返回
3^(a-1) * 2 * 2； - b = 2：返回
3^a * 2。
- b = 0：返回
代码
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
if(n <= 3) return n-1;
int a, b;
a = n / 3, b = n % 3;
if(b == 0) return pow(3, a);
else if(b == 1) return pow(3, a-1) * 4;
else return pow(3, a) * 2;
}
};
方法二：动态规划
思路
对于正整数 n，当 n >= 2 时，可以拆分成至少两个数的和。假设 x 是 n 拆出来的一个数，则 n-x 是剩余的部分。对于 n-x，有两种情况，一种是继续拆分成两个整数，另外一种是不继续拆分。
我们要求的是整数的最大乘积，所以就是选取两种情况的最大值。
状态定义
dp[i] 表示整数 i 的最大乘积。
状态转移方程
对于 dp[i] ，当 i>=2 时，假设拆分出的第一个整数是 j（1<= j < i），考虑两种情况：
- 将 i 拆分成 j 和 i-j ，且 i-j 可以继续拆分，此时的乘积为
j * dp[i-j]； - 将 i 拆分成 j 和 i-j ，且 i-j 不继续拆分，此时的乘积为
j * (i-j)；
结果就是这两种情况的最大值，即 max(j * dp[i-j], j * (i-j)) 。
接下来考虑 j 值，j 的取值范围是 1 <= j < i，我们需要遍历所有 j 值，才能确定 dp[i] 的最大值，所以最终的状态转移方程为 dp[i] = max (1<=j<i){max(j * dp[i-j], j * (i-j))}
初始化
由于 1 不可以拆分，所以将 dp[1] 设置为 0 。
最终的返回结果
i 指的是正整数， 所以 dp[n] 就是最终的返回结果。
代码
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
vector<int> dp(n+1, 0);
for(int i=2; i<=n; ++i){
for(int j=1; j<=i; ++j){
dp[i] = max(dp[i], j * max(i-j, dp[i-j]));
}
}
return dp[n];
}
};
