详解时间复杂度和空间复杂度问题

news2024/11/23 22:41:18

前言：本来我并不认为时间复杂度和空间复杂的有多重要，只要日常会判断和分析算法的复杂度即可，但是，不论是在考研的数据结构与算法中，还是在日常的刷题中，我们都会见到，限制我们时间和空间复杂度的算法设计问题，这对我们要求就高了，所以，我们需要做到的不仅仅是了解，更要会用会判断，从而才能自己设计出符合题目需求的算法。

1.时间复杂度

1.1时间复杂度的概念

1.2 大O的渐进表示法

1.3常见时间复杂度计算举例

实例1（简单遍历）：

实例2（冒泡排序）：

实例3（二分查找）：

实例4（递归阶乘）：

实例5（递归斐波那契）：

2. 空间复杂度

实例1(迭代斐波那切）：

实例2（递归阶乘）：

实例3(递归斐波那契）：

3.总结提炼

常见时间复杂度的比较

4.金句频道

1.时间复杂度

1.1时间复杂度的概念

简单来说，时间复杂度计算的是算法中的操作次数，包括循环，运算等操作，我们来看一个例子

实例1：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
   int count = 0;
   for (int i = 0; i < N; ++i)
   {
       for (int j = 0; j < N; ++j)
       {
           ++count;
       }
   }

   for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
   {
       ++count;
   }
   int M = 10;
   while (M--)
   {
       ++count;
   }
}

经过计算，上面的操作次数为N^2+2*N+10，

1.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

4、在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

使用大O的渐进表示法以后，上述Func1的时间复杂度为：O（N^2)

1.3常见时间复杂度计算举例

实例1（简单遍历）：

// 计算strchr的时间复杂度？

const char * strchr ( const char * str, int character );

该函数是在字符串里查找一个字符，我们一般会认为时间复杂度为程序的最差执行情况，所以，当待查找元素在字符串尾部或者没有该字符，查找次数就是O(N)，N为字符串的长度,相当于我们遍历了整个字符串。

实例2（冒泡排序）：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
   assert(a);
   for (size_t end = n; end > 0; --end)
   {
       int exchange = 0;
       for (size_t i = 1; i < end; ++i)
       {
           if (a[i - 1] > a[i])
           {
               Swap(&a[i - 1], &a[i]);
               exchange = 1;
           }
       }
       if (exchange == 0)
           break;
   }
}

冒泡排序的原理是每一次将待排序序列的最大值“沉到”最后的位置上去，在下一次比较时，我们就可以只比较前N-1个元素，以此类推，知道还是两个元素就可以比较完成了，可以看出，我们第一次需要操作N次，第二次就变成了N-1次，再到N-2次......，我们可以看出操作次数符合等差数列，所以我们可以根据等差数列前n项和推算出时间复杂度为O(N^2)，注意这里不要看到两层for循环误以为是N！，我们的第一层for循环是起到对第二层for循环进行限制的。

实例3（二分查找）：

// 计算二分查找的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a,int l,int r,int x)
{
   if (l > r)
       return -1;
   else
   {

       while (l <= r)
       {
           int mid = (l + r) >> 1;//右移1相当于除2
           if (a[mid] == x)
               return mid;
           else if (a[mid] < x)
               l = mid + 1;
           else
               r = mid - 1;
       }
   }
   return -1;
}

实例4（递归阶乘）：

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
   if (0 == N)
       return 1;
   for (int i = 0; i < N; i++)
   {
       ...
   }
   return Fac(N - 1) * N;
}

递归的特征就是代码很简单，过程却较为复杂，我们来用图结构进行展示：

实例5（递归斐波那契）：

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
   if (N < 3)
       return 1;

   return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

针对该函数，我们计算操作次数就变成了计算函数调用次数，我们来给出结构图：

2. 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法，我们也是采用和时间复杂的类似的渐进取法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

实例1(迭代斐波那切）：

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
   if (n == 0)
       return NULL;

   long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
   fibArray[0] = 0;
   fibArray[1] = 1;
   for (int i = 2; i <= n; ++i)
   {
       fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
   }
   return fibArray;
}

此处用的迭代算法，只有函数内部开辟的n+1个空间是在函数内部的空间消耗，所以空间复杂度为O(N).

实例2（递归阶乘）：

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
   if (N == 0)
       return 1;

   return Fac(N - 1) * N;
}

这里就要涉及函数栈帧的创建和销毁的知识了，我们知道，函数的调用都是要临时创建栈帧的，栈帧会消耗堆栈的空间，但是我们要注意一个细节点，就是我们的第一个函数栈帧调用结束销毁后，第二个函数可以在第一个函数的位置处进行函数栈帧的开辟，也就是说，假设有两个函数调用并返回，总的空间复杂度并不是两者空间复杂度之和。

但是在这里，我们还用不到这个，这个函数还不涉及到函数栈帧的销毁与再开辟，我们阶乘函数是在上一个函数内部直接创建下一个函数的栈帧，不断重复此过程，直到递归结束，然后开始由内而外地一层一层的销毁栈帧，过程中栈帧的开辟是逐层累加上去的，并不涉及到销毁后的再开辟，所以，我们的空间复杂的就是函数的调用次数，即O(N)。