谱域图卷积
1. 谱域卷积的背景知识
1.1 谱域图卷积实现思路
f 1 ( t ) ⋆ f 2 ( t ) = F − 1 [ F 1 ( w ) F 2 ( w ) ] f_1(t) \star f_2(t) = F^{-1}[F_1(w)F_2(w) ] f1(t)⋆f2(t)=F−1[F1(w)F2(w)]
1.2 如何定义图上的傅里叶变换
经典傅里叶变换：
x
(
t
)
=
1
n
∑
w
=
0
n
−
1
e
i
2
π
n
t
w
X
(
w
)
x(t) = \frac{1}{n}\sum_{w=0}^{n-1} e^{i \frac{2\pi}{n}tw}X(w)
x(t)=n1w=0∑n−1ein2πtwX(w)
图傅里叶变换：
x
(
i
˙
)
=
∑
l
=
1
n
x
^
(
λ
l
)
u
l
(
i
˙
)
x(\dot i) = \sum_{l=1}^n \hat{x}(\lambda _l)u_l(\dot i)
x(i˙)=l=1∑nx^(λl)ul(i˙)
1.3 拉普拉斯矩阵
L
=
D
−
W
L = D - W
L=D−W
拉普拉斯矩阵是对称半正定矩阵， 对称半正定矩阵具有以下性质：
- n阶对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量
- 对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交，这些正交的特征向量构成的矩阵为正交矩阵。
- 实对称矩阵的特征向量一定是实向量
- 半正定矩阵的特征值一定是非负的
L = U Λ U − 1 = U Λ U ⊤ L = U \Lambda U^{-1} = U \Lambda U^{\top} L=UΛU−1=UΛU⊤
1. 4 图的拉普拉斯算子
Δ
f
i
=
∑
(
i
,
j
)
∈
e
W
i
j
(
f
i
−
f
j
)
=
∑
j
=
1
n
W
i
j
(
f
i
−
f
j
)
=
D
i
i
f
i
−
∑
j
=
1
n
W
i
j
f
j
\begin{align} \Delta f_i =& \sum_{(i,j)\in e} W_{ij}(f_i - f_j) \\ = &\sum_{j=1}^n W_{ij}(f_i - f_j) \\ =& D_{ii}f_i-\sum_{j=1}^n W_{ij}f_j \end{align}
Δfi===(i,j)∈e∑Wij(fi−fj)j=1∑nWij(fi−fj)Diifi−j=1∑nWijfj
可以理解为中心节点依次减去周围节点，然后乘以权重后求和。
- 公式里的 D i i D_{ii} Dii 表示度矩阵的分量，有连接为1，没有连接为0
对于 n 个节点有
2. 图傅里叶变换
2.1 图节点表示
图上的信号一般可以表示为一个向量，假设有n个节点，则可以记作：
x
=
[
x
1
…
x
n
]
⊤
∈
R
n
x = [x_1 \dots x_n]^{\top} \in \mathbb R^n
x=[x1…xn]⊤∈Rn
2.2 图傅里叶变换
傅里叶变换的本质是：把任意一个函数表示成了若干个正交基函数的线性组合。
f ( t ) = F − 1 [ F ( w ) ] = ∫ R F ( t ) e i 2 π w t f ( t ) = 1 n ∑ w = 1 n F ( w ) e i 2 π n w t \begin{align} f(t) =& F^{-1}[F(w)] =\int_{\mathbb R} F(t) e^{i2\pi wt} \\ f(t) =& \frac{1}{n} \sum_{w=1} ^ n F(w)e^{i \frac{2\pi}{n}wt} \end{align} f(t)=f(t)=F−1[F(w)]=∫RF(t)ei2πwtn1w=1∑nF(w)ein2πwt
- 对应图上的信号x 如果要进行一个傅里叶变换，很自然我们能想到我们也要找到一组正交基，通过这组正交基的线性组合来表达。
- 在图傅里叶变换函数的正交函数，其实是使用拉普拉斯矩阵的特征向量作为基函数。
