1 Introduction

这个章节介绍关键的理论概念。
马尔科夫过程的作用：
1）马尔科夫过程描述强化学习环境的方法，环境是完全能观测的；
2）几乎所有的RL问题可以转换成MDP的形式；

2 Markov Processes

2.1 Markov 属性

属性1：未来和过去无关，只受当前的状态影响

2.2 转移概率矩阵

从当前状态S转移到S’状态的概率，每行的概率之和为1.

2.3 markov chains

马尔科夫过程是无记忆的随机过程，一串状态以及markov的属性。一个马尔科夫过程，只要有有限个状态，以及他们之间相互转换的概率，就可以构建。

课程上给出了一个例子：

对应的转移概率矩阵

从class1 到 sleep有很多的链条

3 markov decision process

3.1 定义

马尔科夫奖励过程就是markov链和每个状态的reward

在马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP）中，奖励函数（reward function）是一个用于表示智能体在执行某个动作后所获得的即时奖励的函数。奖励函数通常用于指导智能体的行为，使其学会在面对不同的状态时做出对其最有利的决策。

3.2 return

从时刻t开始的总折扣奖励是Gt。这里的折扣奖励是指将未来的奖励按照一定的比例进行打折，以体现当前奖励的价值。通过调整$\gamma$调整未来reward的权重。

通过这个公式，可以算出来，从当前C1到最后SLEEP这个链的reward，比如可以用来选择走那条路径更优。

为什么要对后续的reward的添加权重
1.添加权重计算上比较简单；
2.避免循环马尔科夫链出现无穷大的情况
3.倾向于对眼前的利益
4.有时候也可能出现权重不衰减的情况；

3.3 value function

本质上还是用来评价当前这个状态好不好的，如何去评价，从当前状态到最终状态，可以积多少分

最简单的情况，$\gamma =0$，完全不考虑未来

求一下S1 = C1, $\gamma =0.5$的value值
问题：从S1=C1到最终的Sleep有很多条路径，那就有很多个结果，因为有状态概率矩阵，所以可以得到一个期望值？

value function 必然选择最好的一条路径作为评价当前state的数值，这是一个典型的动态规划问题。
动态规划问题的思路就是将问题拆成更小的问题，当前$S_t$的value function不知道，但是只要知道$S_{t+1}$的状态，很容易得到当前时刻的value function。

用图表示就是这个样子的


用动态规划的方法进行求解，且$\gamma =1$,得到一下的markov 状态的value function.

用矩阵的形式进行求解，
$$\begin{array}{rl}v& =R+\gamma \ast P\ast v\\ v& =(I-\gamma \ast P{)}^{-1}R\end{array}$$
验算一下上面的结果,因为$ (I - \gamma *P)$不可逆，比较悲剧，和上面这个结果差距很大，所以只能用其他方法来进行计算
，用value iteration的方法进行求解,因为我们这个问题维度比较小，只要最终状态收敛了就行。

function state_value = valueIterator(transition_matrix, reward_vector, discount_factor, tolerance)
    n = size(transition_matrix, 1);
    state_value = zeros(n, 1);
    delta = inf;

    while delta > tolerance
        new_state_value = reward_vector + discount_factor * transition_matrix * state_value;
        delta = max(abs(new_state_value - state_value));
        state_value = new_state_value;
    end
end

求解结果： -12.5432, 1.4568, 4.3210, 10.0000, 0.8025, -22.5432, 0

1）动态规划，对于我们这个问题，可以尝试用动态规划
2）monte-carlo evaluation
3) temporal difference learning

4 Markov decision processes

马尔科夫奖励过程上再加上决策；

从S到S’，是因为有action的推动。
问题：既然有action主动的去推动，还需要状态转移概率矩阵吗？
一种理解方式：处于当前状态S，有$P_{s{s}^{\prime }}^a$的概率去执行动作a;

4.1 policies

在马尔可夫决策过程（MDP）的环境中，策略是一个从状态到动作的映射，表示代理（Agent）在每个状态下选择采取哪个动作的规则。通常用π表示策略，即π(a|s)表示在状态s下采取动作a的概率

再来理解一下状态转移矩阵和policy矩阵的区别

状态转移矩阵（Transition Matrix）：它表示在给定状态下执行某个动作后到达下一个状态的概率。状态转移矩阵的元素P(s’|s, a)表示在状态s下执行动作a，然后到达状态s’的概率。状态转移矩阵是MDP中一个固定的特性，与策略无关。它描述了在执行一个动作后，环境如何变化。

策略（Policy）矩阵：它表示在给定状态下选择执行某个动作的概率。策略矩阵的元素π(a|s)表示在状态s下选择执行动作a的概率。策略矩阵是MDP中的一个可调整的特性，可以根据需要选择不同的策略。它描述了在给定状态下，智能体如何选择执行动作。

考虑policy之后，从状态s到状态s’，要先经过一个状态概率输出动作a，然后再由$P_{s{s}^{\prime }}^a$的状态转移矩阵过去。

书中给的这两个关系，不太能理解

4.2 Value functions

4.2.1 state-value function

状态之间的转移如今不是单纯的确定概率了，而且可以通过策略进行调整了，在新策略之下，衡量当前S的状态评分。

状态价值函数 V(s)：在状态 s 下遵循策略π的预期回报。即在状态 s 下，智能体采取策略π所能获得的长期回报的期望值。

使用公式进行计算，
$$V_{\pi }(s)=\sum _{a\in \mathcal{A}}\pi (a|s)\left[R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in \mathcal{S}}P(s^{\prime }|s,a)V_{\pi }(s^{\prime })\right]$$
从用下图去表示，

转换成矩阵形式，$v_{\pi }(s)$是一个

找一个简单的问题：

假设一个机器人处于一个4x4的网格世界，每个网格代表一个状态，共有16个状态（S1至S16）。机器人可以采取四个动作：上（U）、下（D）、左（L）和右（R）。假设机器人在状态S1（左上角），试图向右移动。然而，由于地面湿滑，机器人执行动作的不确定性使得实际移动方向可能发生偏移。
在这个例子中，当机器人试图从状态S1向右移动时，实际状态转移概率分布可能如下：
转移到状态S2（向右）的概率：0.8
转移到状态S5（向下）的概率：0.2

我们用一个4x4x4的张量来表示状态转移矩阵，第一维表示动作（上、下、左、右），第二维表示起始状态，第三维表示目标状态。这里我们仅提供一个概要的状态转移矩阵，仅包含部分非零元素

% 参数设置
num_states = 16;
num_actions = 4;
gamma = 0.9;  % 折扣因子
theta = 1e-6; % 阈值，用于判断价值函数收敛
max_iter = 1000; % 最大迭代次数

% 状态转移矩阵 (4x16x16，对应于动作的顺序是：上、下、左、右)
P = zeros(num_actions, num_states, num_states);

% 定义状态转移矩阵的函数
% 省略了具体的状态转移矩阵实现，您可以根据之前的讨论来定义状态转移矩阵

% 奖励函数（16x4，行表示状态，列表示动作）
% 您可以根据实际问题自定义奖励函数
R = ...;

% 策略（16x4，行表示状态，列表示动作），均匀随机策略
policy = ones(num_states, num_actions) / num_actions;

% 初始化状态价值函数（1x16）
V = zeros(1, num_states);

% 迭代计算状态价值函数
for iter = 1:max_iter
    V_old = V;
    for s = 1:num_states
        V_temp = 0;
        for a = 1:num_actions
            V_temp = V_temp + policy(s, a) * (R(s, a) + gamma * sum(P(a, s, :) .* V_old));
        end
        V(s) = V_temp;
    end
    
    % 判断价值函数是否收敛
    if max(abs(V - V_old)) < theta
        break;
    end
end

% 输出状态价值函数
disp(V);

4.2.2 action value function

用于评估在给定策略下，一个状态下采取某个动作的长期价值。它表示从当前状态开始，首先执行某一特定动作，然后遵循给定策略，预期累计奖励的期望值。用Q(s, a)表示动作价值函数，其中s为状态，a为动作，Q(s, a)为在状态s下执行动作a的动作价值。

动作价值函数的意义在于，它可以帮助智能体在给定状态下选择最优的动作。通过比较不同动作的动作价值函数，智能体可以选择具有最高长期价值的动作，从而实现策略的优化。
为了选择最优的动作，智能体可以比较这些动作的动作价值函数Q(s, a)，并选择具有最高价值的动作。例如，如果在当前位置，向右移动的动作价值函数Q(s, 右)最高，智能体将选择向右移动，以期望获得最大的累计奖励。
总之，状态价值函数V(s)用于评估在给定策略下，一个状态的长期价值；动作价值函数Q(s, a)用于评估在给定策略下，一个状态下采取某个动作的长期价值。动作价值函数对智能体具有重要意义，因为它可以帮助智能体在给定状态下选择最优的动作，从而实现策略的优化。

用action value function的定义就能看出，跟后续的状态的state value是相关的，接下来推导他们的关系。

从公式来看，执行一连串的
$$Q^{\pi }(s,a)=R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in S}P(s^{\prime }|s,a)V^{\pi }(s^{\prime })$$

这个公式很容易理解，

4.2.3 用bellman function 总结上面的关系

$$\begin{array}{rl}{V}_{\pi }(s)& =\sum _{a\in \mathcal{A}}\pi (a|s)\left[R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in \mathcal{S}}P(s^{\prime }|s,a)V_{\pi }(s^{\prime })\right]\\ R^{\pi }(s)& =\sum _{a\in \mathcal{A}}\pi (a|s)R(s,a)\\ P^{\pi }(s^{\prime }|s)& =\sum _{a\in \mathcal{A}}\sum _{s^{\prime }\in \mathcal{S}}P(s^{\prime }|s,a)\\ V_{\pi }(s)& =R^{\pi }(s)+\gamma P^{\pi }(s^{\prime }|s)V_{\pi }(s)\end{array}$$

看一下带policy的reward的应该如何定义，R(s,a)表示处于状态s情况下，采用动作a的奖励，
$R^{\pi }$表示在给定策略π下，智能体在状态s采取不同动作a的期望奖励。

4.3 optimal value functions

4.3.1 optimal state value function

找一个最好的policy去最大化状态value function

找一个最好的policy去最大化action value function

定义什么是最优的policy

所有的state， 取得了最大的value function

所有的action，取得了最大的action value 数值

4.3.2 如何寻找optimal policy

简单理解就是要最大化action value的期望。

要确定全局的最优策略，我们需要关注的是状态-动作价值函数（state-action value function），也被称为Q-function。Q-function 衡量了在特定策略下，从某一状态（state）采取某一动作（action）开始所能获得的期望累积奖励。我们可以使用贝尔曼最优方程（Bellman optimality equation）来寻找最优策略。

再来回顾一下action value function的定义，
$$\begin{array}{rl}{Q}^{\pi }(s,a)& =R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in S}P(s^{\prime }|s,a)V^{\pi }(s^{\prime })\\ V_{\pi }(s)& =\sum _{a\in \mathcal{A}}\pi (a|s)\left[R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in \mathcal{S}}P(s^{\prime }|s,a)V_{\pi }(s^{\prime })\right]\\ Q^{\ast }(s,a)& =R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in S}P(s^{\prime }|s,a)V^{\ast }(s^{\prime })\\ V^{\ast }(s)& =\underset{a}{\max }\left(R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a)V^{\ast }(s^{\prime })\right)\end{array}$$

重要的公式1，optimal value function 和optimal action value function的关系
$$V^{\ast }(s)=\underset{a}{\max }{Q}^{\ast }(s,a)$$

它表示在状态$s$下，最优状态价值函数$V^{\ast }(s)$等于所有可能动作的最优状态-动作价值函数$Q^{\ast }(s,a)$的最大值。换句话说，如果我们遵循最优策略，在状态$s$下，我们会选择那个能让我们获得最大期望累积奖励的动作。
从理解的角度, state的value和最优的action的结果相同，


重要的公式2，optimal value function 和optimal action value function的关系

$$\begin{array}{rl}{Q}^{\ast }(s,a)& =R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in S}P(s^{\prime }|s,a)V^{\ast }(s^{\prime })\\ V^{\ast }(s)& =\underset{a}{\max }\left(R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a)V^{\ast }(s^{\prime })\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{Q}^{\ast }(s,a)& =R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in S}P(s^{\prime }|s,a)V^{\ast }(s^{\prime })\\ Q^{\ast }(s,a)& =R(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in S}P(s^{\prime }|s,a)\underset{a^{\prime }}{\max }{q}^{\ast }(s^{\prime },a^{\prime })\end{array}$$

求解的办法
1）value iteration
2) Policy iteration
3) Q-learning
4) Sarsa

5 Extensions to MDPs

5.1 infinite and continuous mdps

• Countably infinite state and/or action spaces
  • Straightforward
• Continuous state and/or action spaces
  • closed form for linear quadratic model
• continuous time
  • 需要微分动态方程
  • HJB 方程
  • limiting case of Bellman equation as time-step

5.2 Partially observable MDPs

5.2.1 belief states

5.3 Undiscounted, average reward MDP