前言

在此之前，我曾在此篇中推导过图像处理：推导五种滤波算法（均值、中值、高斯、双边、引导）。这在此基础上，我想更深入地研究和推导这些算法，以便为将来处理图像的项目打下基础。

概念介绍

高斯滤波是一种常用的图像处理技术，常用于去噪、平滑和边缘检测等应用中。它是基于高斯函数的概念，由于高斯函数的性质，距离中心像素越远的像素对新值的贡献越小，对图像中的像素进行加权平均处理，使得周围像素的影响比较大，而远离中心像素的影响则较小。因此，高斯滤波可以平滑图像并去除一部分噪声，同时保留图像中的边缘和细节。

具体来说，高斯滤波是通过一个矩阵（卷积核）来实现的。这个矩阵的值是由高斯函数计算出来的，高斯函数在中心点处取得最大值，随着距离的增加而逐渐减小。矩阵的大小和参数的选择取决于需要处理的图像和要达到的效果。

基本原理

这里以一个3x3的卷积核为例，卷积核的值是由高斯函数计算出来的，高斯函数在中心点处取得最大值，随着距离的增加而逐渐减小。通过对每个像素应用卷积核，高斯滤波可以对图像进行平滑处理并去除噪声，同时保留图像的细节和边缘。

如上图所示，高斯函数在中心点处的值最大，离中心点越远的值越小。这意味着对于每个像素，距离中心像素越远的像素对新值的影响越小。这种影响方式使得高斯滤波可以去除图像噪声，同时保留图像细节和边缘。

通过高斯滤波的计算过程，可以得出中心点像素值226被新值164所替代的结果。具体来说，通过一个简单的矩阵点乘计算，将卷积核与图像中的像素矩阵相乘，得出每个像素的新值。

它的计算过程如下所示：

a=40*1+107*2+5*1+198*2+226*8+223*2+37*1+68*2+193*1
b=a*(1/(1*4+2*4+8))
print(b)

卷积核的大小

前面举的例子是以3x3大小的卷积核为例，这里就详细补充一些有关于卷积核的知识。

卷积核的形状和权重比

卷积核的形状通常是一个矩阵，长和宽可以有所不同，但必须是奇数。在高斯滤波中，卷积核的大小通常是3x3、5x5、7x7等。其中，3x3的卷积核是最常用的，它的中心点权重最大，周围点权重逐渐减小。

$\frac{1}{256}\begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 & 4 &1 \\ 4 & 16 & 24 & 16 & 4\\ 6 & 24& 36 & 24 &6 \\ 4 & 16 & 24 &16 &4 \\ 1& 4 & 6 &4 &1 \end{bmatrix}$ $\frac{1}{159}\begin{bmatrix} 2& 9& 5& 9 &2 \\ 4& 4& 12& 4 &4 \\ 5& 12& 15& 12 &5 \\ 4& 9& 12& 9& 4\\ 2& 4 & 5 & 4 &2 \end{bmatrix}$

同一尺寸的卷积核可以有不同的形式的权重比例，这些权重比例会决定卷积核对图像不同区域的关注程度。在高斯滤波中，卷积核的权重比是根据高斯函数计算得出的。高斯函数是一个钟形曲线，它的中心点权重最大，两侧的权重逐渐减小。

卷积核的归一化

在实际使用过程中，往往需要对卷积核进行归一化，以保证滤波效果的正确性。在高斯滤波中，卷积核的所有权重值都需要缩放到相同的范围内，并且总和为1，以保证卷积操作对图像的影响是平衡的，避免某些权重过大或过小导致滤波结果出现偏差。

结论

卷积核是图像处理中非常重要的概念，它可以通过卷积操作实现滤波、边缘检测等功能。在高斯滤波中，卷积核的大小、权重比例和归一化等因素都会影响滤波效果。因此，需要根据实际情况选择合适的卷积核，并对卷积核进行适当的调整，以满足不同的图像处理需求。

Opencv实现高斯滤波

def GaussianBlur(src, ksize, sigmaX, dst=None, sigmaY=None, borderType=None):

在Opencv中，我们可以使用cv2.GaussianBlur()函数来实现高斯滤波。使用该函数时，需要输入原始图像、卷积核的大小、沿着x轴、y轴方向的高斯核标准差以及边界样式等参数。其中sigmaY和borderType是可选参数，sigmaX是必选参数，但是可以将该参数设置为 0，让函数自己去计算 sigmaX 的具体值。

import cv2
import numpy as np
import pyps.pyzjr.utility as zjr
path = 'Images/Colnoiselena.jpg'

img = cv2.imread(path)
imgGaussianBlur_1=cv2.GaussianBlur(img,(1,1),0,0)
imgGaussianBlur_3=cv2.GaussianBlur(img,(3,3),0,0)
imgGaussianBlur_5=cv2.GaussianBlur(img,(5,5),0,0)
imgGaussianBlur_7=cv2.GaussianBlur(img,(7,7),0,0)

imgStack = zjr.stackImages(0.6, ([imgGaussianBlur_1, imgGaussianBlur_3], [imgGaussianBlur_5, imgGaussianBlur_7]))
cv2.imshow("imges",imgStack)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

实现效果：

一般情况下，卷积核大小和高斯核标准差是需要根据实际场景进行调整的。如果需要对图像进行更强的模糊处理，可以增加sigma值和卷积核的大小；如果需要对图像进行较弱的模糊处理，可以减小sigma值和卷积核的大小。

Python手写实现高斯滤波

import cv2
import numpy as np
import pyps.pyzjr.utility as zjr
path = 'Images/Colnoiselena.jpg'
img = cv2.imread(path)

def gaussian_kernel(size, sigma):
    kernel = np.zeros((size, size), dtype=np.float32)
    center = size // 2

    for i in range(size):
        for j in range(size):
            x, y = i - center, j - center
            kernel[i, j] = np.exp(-(x**2 + y**2)/(2*sigma**2))
    kernel /= 2 * np.pi * sigma**2
    kernel /= np.sum(kernel)
    return kernel

def Gaussian_Filtering(img, kernel_size, sigma):
    kernel = gaussian_kernel(kernel_size, sigma)
    height, width, channels = img.shape
    result = np.zeros_like(img, dtype=np.float32)

    pad_size = kernel_size // 2
    img_pad = np.pad(img, [(pad_size, pad_size), (pad_size, pad_size), (0, 0)], mode='constant')
    for c in range(channels):
        for i in range(pad_size, height + pad_size):
            for j in range(pad_size, width + pad_size):
                result[i - pad_size, j - pad_size, c] = np.sum(kernel * img_pad[i - pad_size:i + pad_size + 1, j - pad_size:j + pad_size + 1, c])
    return np.uint8(result)

imgGaussianBlur_1 = Gaussian_Filtering(img, 1, 1.5)
imgGaussianBlur_3 = Gaussian_Filtering(img, 3, 1.5)
imgGaussianBlur_5 = Gaussian_Filtering(img, 5, 1.5)
imgGaussianBlur_7 = Gaussian_Filtering(img, 7, 1.5)
imgStack = zjr.stackImages(0.6, ([imgGaussianBlur_1, imgGaussianBlur_3], [imgGaussianBlur_5, imgGaussianBlur_7]))
cv2.imshow("imges",imgStack)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

与手写实现均值滤波的情况大致相同，还是计算速度比较慢的情况，不过这里从效果来看，又是相差不大。

下面是这个函数的具体实现过程：

定义一个高斯核：首先通过 gaussian_kernel() 函数生成一个高斯核，该函数根据输入的 size 和 sigma 参数生成一个高斯核，其中 size 表示高斯核的大小， sigma 表示高斯核的标准差。

$G(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma^{2}}e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\sigma ^{2}}}$

对图像进行补零：由于高斯滤波是在图像的像素周围应用高斯核，因此需要对图像进行补零处理，以便在图像的边缘区域进行高斯卷积时不会出现越界的情况。这里使用 np.pad() 函数来实现对图像的补零操作，其中只对高和宽两个维度进行填充，通道维度不进行填充。
实现高斯卷积：对于每一个像素，将以它为中心的区域和高斯核进行卷积，这里使用嵌套的三重循环对图像进行遍历，其中 c 表示图像的通道数， i 和 j 表示当前像素的位置。
将卷积结果存储在结果矩阵中：将卷积的结果保存在一个结果矩阵中，该矩阵与原始图像具有相同的大小。最后将该结果矩阵转换为uint8格式并返回。

需要注意的是，在对图像进行高斯滤波时，应该对每一个通道分别进行处理，因此在高斯卷积的循环中需要增加一个针对通道的循环。