线性模型的介绍

news2024/9/22 7:21:58

一、背景

在一个理想的连续世界中，任何非线性的东西都可以被线性的东西来拟合，所以理论上线性模型可以模拟物理世界中的绝大多数现象。

线性模型（Linear Model）是机器学习中应用最广泛的模型，指通过样本特征的线性组合来进行预测的模型。给定有d个属性描述的示例 $x = (x_{1};x_{2};...;x_{d})$ ，线性模型试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测的函数，即：

$f(x)=\omega _{1}*x_{1}+\omega _{2}*x_{2}+...+\omega _{d}*x_{d}$

一般用向量形式写成：

二、线性模型参数求解的本质

不管对 f(x) 施加什么样的变化，从方程求解角度来看， $f(x)=\omega _{1}*x_{1}+\omega _{2}*x_{2}+...+\omega _{d}*x_{d}$ 是一个线性方程组。

在这个方程组中，x 是我们已知的，因为我们有训练样本，所以在初始化时，我们的线性方程组看起来是如下形式：

y1 = 1 * w1 + 2 * w2 + .... + 3 * wn；
....
yn = 3 * w1 + 4 * w2 + .... + 3 * wn；

每个样本代表线性方程组的一行，样本中完全线性共线的可以约去。

这样，我们就得到了一个 N(样本数) * M(特征维度) 的巨大矩阵。而样本的值和标签即（x，y）共同组成了一个巨大的增广矩阵。注意，是样本组成了系数矩阵，不是我们要求的模型参数！

求解线性模型的参数向量（w，b）就是在求解线性方程组的一个方程解，所有的方程解组成的集合称为线性方程组的解集合。

同时，在机器学习中，我们称 w 和 b 为线性模型的超参数，满足等式条件的（w，b）组合可能不只一种，所有的超参数构成了一个最优参数集合。实际上，根据线性方程组的理论，线性方程组要么有唯一解，要么有无限多的解。

唯一解的条件比较苛刻，在大多数的场景和数据集下，解空间都是无限的，机器学习算法的设计目标就是：

基于一种特定的归纳偏置，选择一个特定的超参数（w，b），使得模型具备最好的泛化能力，机器学习算法的目的不是解方程，而是获得最好的泛化能力。

当超参数通过训练拟合过程确定后，模型就得以确定。

三、线性回归

线性回归（linear regression）试图学得一个线性模型：

，以尽可能准确地预测实值输出标记。

注意，这里用”尽可能地准确“这个词，是因为在大多数时候，我们是无法得到一个完美拟合所有样本数据的线性方程的，即直接基于输入数据构建的多元线性方程组在大多数时候是无解的。

如下图所示：

这个时候怎么办呢？数学家高斯发现了最小二乘法，它的主要思想是：寻找一个解向量，它和目标数据点的距离尽可能地小。

所以现代线性回归算法所做的事情是：在一定的线性约束条件下，求解线性目标函数的极值问题，这是一个线性规划问题。

四、损失函数的选择

损失函数用来评价模型的预测值和真实值不一样的程度，损失函数越好，通常模型的性能越好。不同的模型用的损失函数一般也不一样。

我们刚说道，直接基于输入数据求解对应线性方程组是无解的，高斯为了解决这个问题，引入了最小二乘。在此之上，之后的数学家又发展出了多种损失评估函数，其数学形式各异，但其核心思想是一致的。损失函数的选择，本质上就是在选择一种误差评价标准，选择何种损失函数取决于我们如何看待我们的问题场景，以及我们希望得到什么样的解释。

我们讨论主要的常用损失函数：

4.1 最小二乘法

线性模型试图学得

同时在噪声符合高斯分布的假设前提下，均方误差是衡量 f(x) 和 y 之间的差别的最佳损失函数。

因此我们可以试图让均方误差最小化，即：

均方误差有非常好的几何意义，它对应了常用的欧几里得距离或简称欧氏距离。基于均方误差误差最小化来进行模型求解的方法称为“最小二乘法（least square method）”。

注意：这里 E(w,b) 是关于 w 和 b 的凸函数，当它关于 w 和 b 的导数均为零时，得到 w 和 b 的最优解。但是对于更高维的线性模型甚至非线性模型，目标函数往往并不是全局凸函数，因此不能继续使用导数为零的方式进行最优解求解，这个时候就需要例如梯度下降法这种递归优化求解算法。

4.2 梯度下降法

线性模型无论多复杂其本质上都是凸函数，凸函数一定可以求得全局最优的极值点，也即最优参数。但是，当函数复杂度继续提高，例如增加了非线性变换之后的复合函数之后，目标函数不一定就是凸函数了（例如深度神经网络），这个时候我们就很难直接求得闭式解，矩阵求逆也不一定可以完成。针对这种复杂函数，GD梯度下降就是一种相对万能通用的迭代式参数求解算法。

我们从某些初始解出发，迭代寻找最优参数值。每次迭代中，我们先计算误差函数在当前点的梯度，然后根据梯度确定搜索方向。例如，由于负梯度方向是函数值下降最快的方向，因此梯度下降法就是沿着负梯度方向搜索最优解.若误差函数在当前点的梯度为零，则已达到局部极小，更新量将为零，因为我们并没有尝试完所有的参数组合，所以不能确定我们得到的局部最小值是否便是全局最小值，选择不同的初始参数组合，可能会找到不同的局部最小值。