模拟控制器的离散化
数字PID控制器
Smith预估控制

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所谓模拟设计法，即是先按照连续系统的设计方法，使用如频率特性、根轨迹等工具，设计出模拟控制器，再进行离散化，得到数字控制器。
优点是使用我们已经比较熟悉的连续系统的设计方法。缺点是性能比模拟系统差，而且未能完全发挥计算机控制的作用。

模拟设计法的步骤：

1. 根据性能指标，设计连续域的传递函数$D(s)$
2. 选择合适的离散化方法，将$D(s)$离散化，得到$D(z)$
3. 检验计算机控制系统的闭环性能，若不满足，需要改进。如重选离散化方法、提高采样频率、重新设计$D(s)$等
4. 将$D(z)$变为数字算法，在计算机上编程实现

模拟控制器的离散化

数值积分法

一阶后向差分法

即把微分$\frac{\text{d}u(t)}{\text{d}t}$变为后向差分:$\frac{u(kT)-u[(k-1)T]}{T}$，对应：$s$变为$\frac{1-z^{-1}}{T}$

特性：

1. S负半平面映射到Z平面圆$(u-\frac{1}{2}{)}^2+v^2<(\frac{1}{2}{)}^2$
2. $D(s)$稳定，则$D(z)$一定稳定
3. 变换前后，稳态增益不变。$D(s){|}_{s=0}=D(z){|}_{z=1}$
4. 时间响应和频率响应有相当大的畸变
5. 变换精度低，使用较少

一阶前向差分法

即把微分$\frac{\text{d}u(t)}{\text{d}t}$变为前向差分:$\frac{u[(k+1)T]-u(kT)}{T}$，对应：$s$变为$\frac{z-1}{T}$
特性：

1. S负半平面映射到Z平面$\text{Re}(z)<1$的区域
2. Z平面单位圆映射到S平面圆$(\sigma +\frac{1}{T}{)}^2+{\omega }^2=(\frac{1}{T}{)}^2$。T越小，对应S平面的圆越大，稳定性越好
3. $D(s)$稳定，$D(z)$不一定稳定
4. 不能保证稳定性，使用较少

双线性变换法（Tustin）

$z=e^{Ts}=\frac{e^{\frac{Ts}{2}}}{e^{\frac{-Ts}{2}}}$
将分子分母分别泰勒展开取前两项，则有：$z=\frac{1+\frac{Ts}{2}}{1-\frac{Ts}{2}}$
类比W变换乘以系数$\frac{T}{2}$

对应：$s$变为$\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}$

特性：

1. S负半平面映射到Z平面圆$u^2+v^2<1$，S平面虚轴映射到Z平面单位圆上

2. $D(s)$稳定，$D(z)$一定稳定

3. 主要应用于低通环节的离散化。不宜用于高通环节。
   

4. 变换前后，稳态增益不变。$D(s){|}_{s=0}=D(z){|}_{z=1}$

5. 变换后$D(z)$的阶次不变，且分子分母阶次相同。如果$D(s)$分子比分母低$p$次，则说明$D(z)$分子中含有$(z+1{)}^p$

6. 使用方便且具有一定精度，工程上使用普遍

零极点匹配法

基本思想：把$D(s)$的零点和极点全部映射到Z平面上

$D(s)$原本的零极点按照$z=e^{sT}$的方式映射。
$D(s)$分子比分母低的阶数用无穷远的零点补全，映射到Z平面$z=-1$处。

其他方法

1. Z变换法（脉冲响应不变法）
   直接应用Z变换：$D(z)=Z[D(s)]$
   这种方法可以保证变换前后脉冲响应不变。但是Z变换比较麻烦、多个环节串连无法单独变换、产生频率混叠、其他特性变化较大。所以应用较少。
2. 带零阶保持器的Z变化法（阶跃响应不变法）
   $D(z)=Z[\frac{1-e^{-sT}}{s}D(s)]$
   这里的ZOH是假想的，并不真实存在。
   这种方法可以保证变换前后阶跃响应不变。但与Z变换有相同的一系列缺点，所以应用较少。

数字PID控制器

模拟PID控制器的离散化

1. PID全量控制
   （位置式PID、绝对式PID）
   

2. PID增量控制
   即是仅输出改变量
   
   适用于阀、步进电机等具有积分特性的被控对象。

数字PID的改进

1. 抗积分饱和

   • 当输出的控制量很大，超出DA的转换范围或者超过执行机构的执行范围（例如，控制器输出25，但DAC只能输出5；控制器输出120，但阀门只能开到100）此时尽管控制器持续运算、输出，但执行机构没有动作，称为积分饱和。发生积分饱和时，相当于断开闭环控制系统。
   • 遇限削弱积分法
     当控制量进入饱和区，只执行削弱积分项的积分
     
   • 饱和停止积分法
     当控制量进入饱和区，不执行积分。优点是简单易行。缺点是不易使系统退出饱和。
     

2. 防积分整量化误差

   • 积分项的数值太小，可能在计算机的有限字长中无法表示，发生积分项丢失的现象
   • 解决方法：用双字长存储积分运算结果。当结果小于单字长时，加到低位单元。直到低位单元进位到高位单元。（输出只输出高位单元。相当于扩展了字长，能够表示的最小值变小了）

3. 微分算法改进

   • 微分放大噪声的作用，极易引入高频干扰
   • 不完全微分PID：
     即使用带惯性环节的实际微分器。
     $s\to \frac{s}{1+T_{f}s}$
     
   • 微分先行PID
     即把微分提前到比例和积分运算之前
     

4. 带非灵敏区
   
   偏差小的时候断开控制。可以节约能源、保护执行机构

PID控制各环节的作用

1. 比例环节：
   随$K_p$的增大，超调量增大，响应速度加快，稳态误差减小（但不能消除）
   如果$K_p$偏大，系统输出震荡次数变多，调节时间加长
   如果$K_p$过大，将导致系统不稳定
2. 积分环节:
   随$T_I$的增大，超调量减小，响应速度减慢，可以完全消除稳态误差
   如果$T_I$过大，积分作用削弱，对系统动态性能的影响减小，但可能无法消除静态误差
   如果$T_I$过小，系统会不稳定
3. 微分环节：
   选择合适的$T_D$将使系统的超调量减小，调节时间缩短，允许加大比例控制。
   $T_D$太大或太小，都会适得其反

PID参数的整定

扩充临界比例度法

1. 选择采样周期。通常取被控对象纯滞后的$\frac{1}{10}$
2. 将PID控制器设置为纯P，减小比例度$(\delta =\frac{1}{K_p})$，直到系统等幅震荡。记录临界比例度${\delta }_k$以及临界震荡周期$T_k$
3. 选择控制度
4. 查表，确定$T,K_p,T_I,T_D$的值
5. 试运行，如果性能不满意，可进一步调节参数

$控制度=\frac{{\int }_0^{\infty }[e^2(t)\text{d}t{]}_{DDC}}{{\int }_0^{\infty }[e^2(t)\text{d}t{]}_{Analog}}$，越接近1，说明数字控制器和模拟控制器性能越接近。是一个根据需要选定的值。

整定参数表：

控制度	控制规律	$T/T_k$	$K_P{\delta }_k$	$T_I/T_k$	$T_D/T_k$
1.05	PI	0.03	0.53	0.88	-
1.05	PID	0.014	0.63	0.49	0.14
1.20	PI	0.05	0.49	0.91	-
1.20	PID	0.043	0.47	0.47	0.16
1.50	PI	0.14	0.42	0.99	-
1.50	PID	0.09	0.34	0.43	0.20
2.00	PI	0.22	0.36	1.05	-
2.00	PID	0.16	0.27	0.40	0.22

扩充阶跃响应曲线法

1. 控制器不接入系统，将被控量调至给定值附近，并使其稳定。然后测被控对象的单位阶跃响应曲线。
2. 在曲线的拐点处作切线，求出纯滞后$\tau$和时间常数$T_m$
3. 选择控制度
4. 查表，确定$T,K_p,T_I,T_D$的值

整定参数表：

「图源：刘建昌_计算机控制系统」

PID控制器的无扰切换

实际运行中，需要在自动与手动控制模式之间进行切换。要求切换时不对调节过程带来大的冲击。
在手动控制时，PID算法应该继续计算，减小切换回自动时的冲击。

Smith预估控制

适用于大滞后或者大延迟
当$\tau /T_m>0.3$，就可以认为是大滞后或大延迟。如果$\tau /T_m>0.5$，一般就需要特殊处理。因为常规PID 会使系统稳定性变差甚至产生震荡。

设计纯滞后补偿控制系统

在计算机控制系统中实现纯滞后补偿：

Smith预估器的编排结构

几种不同的控制算法的编排结构：

研究参数$a_k$变化对于极点的影响：

将上式称为灵敏度公式，其可以表示某个分母参数变化引起某个极点变化的灵敏度。（越小越不灵敏）
可以看出，$k$越大，对根的影响最大。(稳定时$|p_i|<1$)
且影响与极点之间的距离成反比。

Smith预估器采用串联型结构：