[POJ - 1080 ]Palindrome(区间DP)

news2024/12/24 9:18:37

[POJ - 1080 ]Palindrome( 区间DP)

  • 1、问题
  • 2、分析
      • 状态表示
      • 状态转移
      • 空间优化
  • 3、代码

1、问题

给定一个字符串,通过添加最少的字符,使得这个字符串成为一个回文字符串。
在这里插入图片描述

2、分析

状态表示

f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]表示将区间 [ i , j ] [i,j] [i,j]的字符串变成回文串时,添加的最小字符数。

状态转移

在写状态转移方程之前,我们先来分析一下这道题。因为这道题是让我们判断一个回文串,所以我们很自然地想到,应该从两端向中间扫描,这样我们才能判断该字符串是否为回文串。

如下图:
在这里插入图片描述
假设我们的 i i i j j j走到了图中的位置,现在需要判断这两个字符是否相等,很明显,按照图中的例子来看,这两个字符是不相等的。
如果不相等话,我们就需要插入字符。插入字符的话,我们就有两个选择,一个是在C的后面插入一个A。如下图所示:
在这里插入图片描述
当我们加上一个A以后,原来在 i i i位置的字符 A A A和我们插入的 A A A配对,此时我们的 j j j就只能去和 i + 1 i+1 i+1匹配。

当然,我们还有另外一个选择,就是将 A A A前面加一个 C C C,如下图所示:
在这里插入图片描述
同理,我们插入一个字符 C C C以后,我们的 i i i处所对应的字符,就可以去和第 j − 1 j-1 j1个字符匹配了。
那么我们能否选择不在两端插入字符,而是在对中间字符串匹配的过程中,插入一些字符,而使得现在两端的字符自动匹配成功呢?
答案是不可能的。
因为无论我们在中间插入多少个字符, i i i位置的 A A A j j j位置的 C C C字符依旧是在两端,所以二者依旧是不匹配的。

综合上述三种情况,就可以得出一个结论,在我们向中间扫面的过程中,如果没有匹配成功的话,就必须在两端插入一个新的字符,只不过到底是在前面插入,还是在后面插入,需要靠我们自行比较一下。

现在,还有一个问题,当我们插入一个字符后,对之前已经匹配的字符是否有影响呢?
答案是没有影响的。
在这里插入图片描述
在上面这个图中,两侧的黑色框是已经匹配的字符,当我们插入字符后,其实并不影响两侧的黑色框。所以是没有影响的。

通过上述的讨论,我们就能总结出状态转移方程。
f [ i ] [ j ] = { m i n ( f [ i + 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j − 1 ] ) + 1 s [ i ] ≠ s [ j ] f [ i − 1 ] [ j − 1 ] + 1 s [ i ] = s [ j ] f[i][j]= \begin{cases} min(f[i+1][j],f[i][j-1])+1&s[i]\neq s[j] \\f[i-1][j-1]+1&s[i]=s[j] \end{cases} f[i][j]={min(f[i+1][j],f[i][j1])+1f[i1][j1]+1s[i]=s[j]s[i]=s[j]

空间优化

这道题的数据范围比较大,所以需要我们改成滚动数组的形式,即 & 1 \&1 &1即可。

3、代码

#include<iostream>
#define endl '\n'
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 5e3 + 10;
char s[N];
int f[3][N];

void solve()
{
	int n;
	cin >> n;
	cin >> s + 1;
	for(int i = n; i >= 1; i --)
	{
		for(int j = i; j <= n; j ++ )
		{
			if(s[i] == s[j])
				f[i % 2][j] = f[(i + 1) % 2][j - 1];
			else
				f[i % 2][j] = min(f[(i + 1) % 2][j], f[i % 2][j - 1]) + 1;
		}
	}
	cout << f[1][n] << endl;
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	solve();
}

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