数据结构_第十三关（1）：简单排序算法

news2024/11/14 18:47:18

【本关目标】

  1. 排序的概念
  2. 常见排序的算法思想和实现
  3. 排序算法的复杂度以及稳定性分析

目录

【本关目标】

1.排序的概念

2.常见排序的算法思想和实现（代码默认都是从小到大排序）

2.1插入排序

1）直接插入排序

 2）希尔排序

2.2选择排序

1）直接选择排序

2）堆排序

2.3交换排序

1）冒泡排序

2）快速排序

3.以上几种函数的性能对比：

4.源代码（VS2022下编写）

1.排序的概念

  • 排序：所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。
  • 稳定性：假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。
  • 内部排序：数据元素全部放在内存中的排序。
  • 外部排序：数据元素太多不能同时放在内存中，根据排序过程的要求不能在内外存之间移动数据的排序。

 常见的排序算法：

各种排序算法的接口：

//直接插入排序
void InsertSort(int* a, int n);

//希尔排序
void ShellSort(int* a, int n);


//排序的性能测试对比
void functionText()
{
    //设定随机数
	srand(time(0));
	const int N = 100000;
	int* a1 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a2 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a3 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a4 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a5 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a6 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);

	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		a1[i] = rand() + i;//因为rand()得到的数据只有3万左右，剩下的就都是重复的了
                            //所以这里用rand() + i使得其重复数尽量的减小
		a2[i] = a1[i];
		a3[i] = a1[i];
		a4[i] = a1[i];
		a5[i] = a1[i];
		a6[i] = a1[i];
	}
    
    // clock()是计算运行到此时cpu执行的时间，单位毫秒
	int begin1 = clock();
	InsertSort(a1, N);
	int end1 = clock();

	int begin2 = clock();
	ShellSort(a2, N);
	int end2 = clock();

	int begin3 = clock();
	SelectSort(a3, N);
	int end3 = clock();
	 
	int begin4 = clock();
	HeapSort(a4, N);
	int end4 = clock();
	 
	int begin5 = clock();
	QuickSort(a5, 0, N - 1);
	int end5 = clock();
	 
	int begin6 = clock();
	MergeSort(a6, N);
	int end6 = clock();

	printf("InsertSort:%d\n", end1 - begin1);
	printf("ShellSort:%d\n", end2 - begin2);
	printf("SelectSort:%d\n", end3 - begin3);
	printf("HeapSort:%d\n", end4 - begin4);
	printf("QuickSort:%d\n", end5 - begin5);
	printf("MergeSort:%d\n", end6 - begin6);

	free(a1);
	free(a2);
	free(a3);
	free(a4);
	free(a5);
	free(a6);
}

2.常见排序的算法思想和实现（代码默认都是从小到大排序）

2.1插入排序

1）直接插入排序

基本思想：

直接插入排序是一种简单的排序算法
把待排序的记录按其关键码值的大小逐个插入到一个已经排好序的有序序列中，直到所有的记录插入完为止，得到一个新的有序序列 。

当插入第i(i>=1)个元素时，前面的array[0],array[1],…,array[i-1]已经排好序，此时用array[i]的排序码与array[i-1],array[i-2],…的排序码顺序进行比较，找到插入位置即将array[i]插入，原来位置上的元素顺序后移

性能总结：

  1. 元素集合越接近有序，直接插入排序算法的时间效率越高
  2. 时间复杂度：O(N^2)
  3. 空间复杂度：O(1)，它是一种稳定的排序算法
  4. 稳定性：稳定

代码实现：

void InsertSort(int* a, int n)
{
	//两层循环    第一层是用来确顶当前该比较哪个位置的数，用tmp来记录
	//		     第二层是用来进行从end到0方向的下标位置比较，
    //                  用tmp与之前的所有位置的数进行比较
	for (int i = 0; i < n - 1; ++i)
	{
		int end = i;
		int tmp = a[end + 1];
		while (end >= 0)
		{
			if (tmp > a[end])
			{
				a[end + 1] = a[end];
				--end;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}

		a[end + 1] = tmp;
	}
}

 2）希尔排序

基本思想： 

希尔排序法又称缩小增量法。

先选定一个整数，把待排序文件中所有记录分成个组，所有距离为的记录分在同一组内，并对每一组内的记录进行排序。然后，取，重复上述分组和排序的工作。当到达=1时，所有记录在统一组内排好序。

 希尔排序的特性总结：

  1. 希尔排序是对直接插入排序的优化
  2. 当gap > 1时都是预排序，目的是让数组更接近于有序。当gap == 1时，数组已经接近有序的了，这样就会很快。这样整体而言，可以达到优化的效果。我们实现后可以进行性能测试的对比
  3. 希尔排序的时间复杂度不好计算，因为gap的取值方法很多，导致很难去计算，因此在好些树中给出的希尔排序的时间复杂度都不固定
    希尔排序的时间复杂度和堆排序的复杂度差不多，但在数据越大的情况下希尔排序更好
  4. 稳定性：不稳定

代码实现：

void ShellSort(int* a, int n)
{
	// 三层循环，第一层：对gap的递减，达成预排序
	//			 第二层和第三层的方法就和直接插入排序一样了
	// 
	// gap > 1 预排序
	// gap == 1 直接插入排序
	int gap = n;
	while (gap > 1)
	{
		gap = gap / 2;

		for (int i = 0; i < n - gap; ++i)
		{
			int end = i;
			int tmp = a[end + gap];
			while (end >= 0)
			{
				if (tmp < a[end])
				{
					a[end + gap] = a[end];
					end -= gap;
				}
				else
				{
					break;
				}
			}

			a[end + gap] = tmp;
		}
	}
}

//精简代码版：
void shellSort(int* arr, int n) 
{
	int gap, i, j, tmp;
	for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) 
	{
		for (i = gap; i < n; i++) 
		{
			tmp = arr[i];
			for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > tmp; j -= gap) 
			{
				arr[j] = arr[j - gap];
			}
			arr[j] = tmp;
		}
	}
}

2.2选择排序

1）直接选择排序

基本思想：

每一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，直到全部待排序的数据元素排完 。

也可以一次循环直接将最小和最大都选出来（如下面代码中那样）

步骤：

  • 在元素集合array[i]--array[n-1]中选择关键码最大(小)的数据元素
  • 若它不是这组元素中的最后一个(第一个)元素，则将它与这组元素中的最后一个
    （第一个）元素交换
  • 在剩余的array[i]--array[n-2]（array[i+1]--array[n-1]）集合中，重复上述步骤，直到集合剩余1个元素

直接选择排序的特性总结：

  1. 直接选择排序思考非常好理解，但是效率不是很好。实际中很少使用
  2. 时间复杂度：O(N^2)
  3. 空间复杂度：O(1)
  4. 稳定性：不稳定

直接选择排序在任何情况都是O(N^2)  包括有序或接近有序，

所以它的排序效率还没有直接插入排序的效率高

代码实现：

void SelectSort(int* a, int n)
{
	int begin = 0, end = n - 1;

	while (begin < end)
	{
		int mini = begin, maxi = begin;
		for (int i = begin + 1; i <= end; ++i)
		{
			if (a[i] < a[mini])
			{
				mini = i;
			}

			if (a[i] > a[maxi])
			{
				maxi = i;
			}
		}

		Swap(&a[begin], &a[mini]);
        // 这里是防止maxi和begin相等时，由于换位而导致maxi的交换发生错误
		if (maxi == begin)
		{	
            maxi = mini;
        }
		Swap(&a[end], &a[maxi]);
		++begin;
		--end;
	}
}

2）堆排序

基本思想：

堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。它是通过堆来进行选择数据。需要注意的是排升序要建大堆，排降序建小堆。

具体可看博主之前的文章：

数据结构_第十关：二叉树的顺序结构——堆_小羊在摸鱼的博客-CSDN博客

堆排序的特性总结：

  1. 堆排序使用堆来选数，效率就高了很多。
  2. 时间复杂度：O(N*logN)
  3. 空间复杂度：O(1)
  4. 稳定性：不稳定

代码如下：

//交换
void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
//像下调整(建大堆)（数组、数组大小、父节点下标）
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	//默认认为左孩子大
	int child = parent * 2 + 1;
	//超过数组大小
	while (child < n)
	{
		//确认child指向大的孩子
		if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]) //第一处：a[child + 1] > a[child]
		{
			++child;
		}
		//孩子大于父亲，交换,继续调整
		//这里换为 > 是大堆的创建
		if (a[child] > a[parent])  //第二处：a[child] > a[parent]
		{
			swap(&a[parent], &a[child]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
	//将第一处和第二处的>换为<则是建小堆
}
//堆排序
void HeapSort(int* a, int size)
{
	// 向下调整建堆 -- O(N)
	// 升序：建大堆
	for (int i = (size - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, size, i);
	}

	int end = size - 1;//(end表示数组需要与array[0]交换的下标位置)
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);//交换array[0]和array[end]的位置
		AdjustDown(a, end, 0);//向下调整
		end--;
	}
}

2.3交换排序

所谓交换，就是根据序列中两个记录键值的比较结果来对换这两个记录在序列中的位置，

交换排序的特点是：将键值较大的记录向序列的尾部移动，键值较小的记录向序列的前部移动。

1）冒泡排序

基本思想

用当前的和前一个进行比较，将值大的往后移动，值小的往前移动。

冒泡排序也时最简单，最常学习的排序，缺点就是排序效率比较差

冒泡排序的特性总结：

  1. 冒泡排序是一种非常容易理解的排序
  2. 时间复杂度：O(N^2) 
  3. 空间复杂度：O(1)
  4. 稳定性：稳定

代码如下：

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	for (int j = 0;j < n;j++)
	{
		for (int i = 1;i < n - j;i++)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				int tmp = a[i - 1];
				a[i - 1] = a[i];
				a[i] = tmp;
			}
		}
	}
}

2）快速排序

由于内容较多，放到了下一章分开来学习

数据结构_第十三关（2）：快速排序_小羊在摸鱼的博客-CSDN博客

3.以上几种函数的性能对比：

以下对比都是在Debug版本下的对比，如果是在Release 版本下，其所需时间会更短

数据量为1万时，各排序所需时间： 

 数据量为10万时，各排序所需时间： 

 数据量为100万时，各排序所需时间（去掉两个最慢的，选择和冒泡）： 

数据量为1000万时，各排序所需时间（去掉两个最慢的，选择和冒泡）： 

 结论：

  • 可以看到，冒泡排序是最拉的排序算法，虽然其思想很简单
  • 最排序和希尔排序的效率差不多

4.源代码（VS2022下编写）

#include<stdlib.h>
#include<time.h>

//直接插入排序
void InsertSort(int* a, int n);

//希尔排序
void ShellSort(int* a, int n);
void shellSort(int* arr, int n);

//选择排序
void SelectSort(int* a, int n);

//堆排序
void HeapSort(int* a, int n);

//冒泡排序
void BubbleSort(int* a, int n);






//交换
void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
//像下调整（数组、数组大小、父节点下标）
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	//默认认为左孩子大
	int child = parent * 2 + 1;
	//超过数组大小
	while (child < n)
	{
		//确认child指向大的孩子
		if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]) //第一处：a[child + 1] > a[child]
		{
			++child;
		}
		//孩子大于父亲，交换,继续调整
		//这里换为 > 是大堆的创建
		if (a[child] > a[parent])  //第二处：a[child] > a[parent]
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
	//将第一处和第二处的>换为<则是建小堆
}


//直接插入排序
void InsertSort(int* a, int n)
{
	//两层循环，第一层是用来确顶当前该比较哪个位置的数，用tmp来记录
	//			第二层是用来进行从end到0方向的下标位置比较，用tmp与之前的所有位置的数进行比较
	for (int i = 0; i < n - 1; ++i)
	{
		int end = i;
		int tmp = a[end + 1];
		while (end >= 0)
		{
			if (tmp < a[end])
			{
				a[end + 1] = a[end];
				--end;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}

		a[end + 1] = tmp;
	}
}

//希尔排序
void ShellSort(int* a, int n)
{
	// 三层循环，第一层：对gap的递减，达成预排序
	//			 第二层和第三层的方法就和直接插入排序一样了
	// 
	// gap > 1 预排序
	// gap == 1 直接插入排序
	int gap = n;
	while (gap > 1)
	{
		gap = gap / 2;  // +1是为了保证最后一次gap一定为1
							// 如果是gap /= 2，则最后一次肯定是1，除2就不用+1了

		for (int i = 0; i < n - gap; ++i)
		{
			int end = i;
			int tmp = a[end + gap];
			while (end >= 0)
			{
				if (tmp < a[end])
				{
					a[end + gap] = a[end];
					end -= gap;
				}
				else
				{
					break;
				}
			}

			a[end + gap] = tmp;
		}
	}
}
//代码简化版
void shellSort(int* arr, int n) 
{
	//步长从大到小逐渐缩小，直到步长为1，也就是最后一次对整个数组进行插入排序。
	//在最开始的时候，步长通常为数组长度的一半，可以尽快达到比较均匀的排序效果，之后每次都把步长折半
	// 
	int gap, i, j, tmp;
	for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) 
	{
		for (i = gap; i < n; i++) 
		{
			tmp = arr[i];
			for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > tmp; j -= gap) 
			{
				arr[j] = arr[j - gap];
			}
			arr[j] = tmp;
		}
	}
}

//选择排序
void SelectSort(int* a, int n)
{
	int begin = 0, end = n - 1;

	while (begin < end)
	{
		int mini = begin, maxi = begin;
		for (int i = begin + 1; i <= end; ++i)
		{
			if (a[i] < a[mini])
			{
				mini = i;
			}

			if (a[i] > a[maxi])
			{
				maxi = i;
			}
		}

		Swap(&a[begin], &a[mini]);
		if (maxi == begin)
			maxi = mini;

		Swap(&a[end], &a[maxi]);
		++begin;
		--end;
	}
}

//堆排序
void HeapSort(int* a, int size)
{
	//排升序，建大堆
	for (int i = (size - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, size, i);
	}

	int end = size - 1;//(end表示数组需要与array[0]交换的下标位置)
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);//交换array[0]和array[end]的位置
		AdjustDown(a, end, 0);//向下调整
		end--;
	}
}

//冒泡排序
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	for (int j = 0;j < n;j++)
	{
		for (int i = 1;i < n - j;i++)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				int tmp = a[i - 1];
				a[i - 1] = a[i];
				a[i] = tmp;
			}
		}
	}
}







void printArray(int* a, int n)
{
	for (int i = 0;i < n;i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	printf("\n");
}
void TestInsertSort()
{
	int a[] = { 9, 1, 2, 5, 7, 4, 8, 6};
	InsertSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	printArray(a, sizeof(a) / sizeof(int));

	shellSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	printArray(a, sizeof(a) / sizeof(int));

	HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	printArray(a, sizeof(a) / sizeof(int));

	BubbleSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	printArray(a, sizeof(a) / sizeof(int));
}
void functionText()
{
	srand(time(0));
	const int N = 1000000;
	int* a1 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a2 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a3 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a4 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a5 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a6 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a7 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);

	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		a1[i] = rand() + i;
		a2[i] = a1[i];
		a3[i] = a1[i];
		a4[i] = a1[i];
		a5[i] = a1[i];
		a6[i] = a1[i];
		a7[i] = a7[i];
	}

	int begin1 = clock();
	InsertSort(a1, N);
	int end1 = clock();

	int begin2 = clock();
	ShellSort(a2, N);
	int end2 = clock();

	int begin3 = clock();
	SelectSort(a3, N);
	int end3 = clock();
	 
	int begin4 = clock();
	HeapSort(a4, N);
	int end4 = clock();
	
	int begin7 = clock();
	BubbleSort(a7, N);
	int end7 = clock();
	
	//int begin5 = clock();
	//QuickSort(a5, 0, N - 1);
	//int end5 = clock();
	// 
	//int begin6 = clock();
	//MergeSort(a6, N);
	//int end6 = clock();

	printf("数据量为%d，以下时间单位为毫秒（ms）\n",N);
	printf("InsertSort:	%d\n", end1 - begin1);
	printf("ShellSort:	%d\n", end2 - begin2);
	printf("SelectSort:	%d\n", end3 - begin3);
	printf("HeapSort:	%d\n", end4 - begin4);
	printf("BubbleSort:	%d\n", end7 - begin7);
	//printf("QuickSort:%d\n", end5 - begin5);
	//printf("MergeSort:%d\n", end6 - begin6);

	free(a1);
	free(a2);
	free(a3);
	free(a4);
	free(a5);
	free(a6);
	free(a7);
}

int main()
{
	TestInsertSort();

	//性能测试：
	functionText();

	return 0;
}

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3DEXPERIENCE云可以为PLM带来什么?

在消费者领域&#xff0c;云的优势已显而易见&#xff0c;用一个词就可以概括&#xff1a;便利&#xff0c;3DEXPERIENCE云存储服务的用户可以从任何位置在任何设备上访问其数据&#xff0c;只要能够连接到互联网就行了。在一台设备 上所做的更改会立即反映在另一台设备上。 同…
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提升10倍写作效率，这5个写作工具，文笔不好的人别错过

提升10倍写作效率，这5个写作工具，文笔不好的人别错过

记得刚出来上班的时候&#xff0c;我的写作效率很低&#xff0c;经常没有思路&#xff0c;也找不到选题。甚至一两个小时过去了&#xff0c;仍然不知道如何动笔&#xff0c;经常写了删&#xff0c;删了又写。工欲善其事&#xff0c;必先利其器。在写作过程中&#xff0c;需要一…
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【数据分析之道-NumPy(五)】numpy迭代数组

【数据分析之道-NumPy(五)】numpy迭代数组

文章目录 专栏导读1、前言2、使用python循环语句3、使用nditer函数3.1迭代一维数组3.2迭代二维数组3.3迭代指定顺序的数组3.4迭代时修改数组中的元素 4、使用flat属性5、使用ndenumerate函数6、使用布尔索引总结 专栏导读 ✍ 作者简介&#xff1a;i阿极&#xff0c;CSDN Python…
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IO多路复用—多线程网络并发通信 select poll epoll

IO多路复用—多线程网络并发通信 select poll epoll

1.IO 多路转接 (复用) ​ IO 多路转接也称为 IO 多路复用&#xff0c;它是一种网络通信的手段&#xff08;机制&#xff09;&#xff0c;通过这种方式可以同时监测多个文件描述符并且这个过程是阻塞的&#xff0c;一旦检测到有文件描述符就绪&#xff08; 可以读数据或者可以写…
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Nginx企业级使用1（运维笔记）

Nginx企业级使用1（运维笔记）

Nginx企业级使用1&#xff08;运维笔记&#xff09; 重装和升级 信号参数 Kill 选项参数 pid ##关闭nginx ##快速关闭 kill -INT pid ##优雅关闭 kill -QUIT pid##############实操############## [rootserver01 ~]# ps -ef|grep nginx root 1668 1 0 11:09 ?…
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Flask入门和视图--01

Flask入门和视图--01

1. 概述 虚拟环境搭建和使用 Flask框架的特点&#xff0c;Flask框架的组成 Flask框架中MVT模式开发 蓝图Blueprint的使用 路由Route的使用 请求Request和响应Response的使用 2. Flask简介 2.1 简介 Python后端的2个主流框架:Flask 轻量级框架Django 重型框架Flask是一…
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开心档之C++ 信号处理

开心档之C++ 信号处理

C 信号处理 目录 C 信号处理 signal() 函数 实例 raise() 函数 实例 信号是由操作系统传给进程的中断&#xff0c;会提早终止一个程序。在 UNIX、LINUX、Mac OS X 或 Windows 系统上&#xff0c;可以通过按 CtrlC 产生中断。 有些信号不能被程序捕获&#xff0c;但是下表…
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安全狗入选2023年福建省数字经济核心产业领域创新企业名单

安全狗入选2023年福建省数字经济核心产业领域创新企业名单

近日&#xff0c;福建省数字福建建设领导小组办公室公布了入选2023年全省数字经济核心产业领域创新企业名单。 作为国内云原生安全领导厂商&#xff0c;安全狗凭借综合表现与优势入选名单&#xff0c;荣膺“未来独角兽”称号。 据悉&#xff0c;此次对“未来独角兽”的评选条件…
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调频电视发射机工作原理

调频电视发射机工作原理

我们平常所接触到的电视信号无线传输器材&#xff0c;较多采用调幅方式。原因是调幅方式在整个电视技术领域用得比较普遍&#xff0c;如我们生活中不可或缺的无线和有线电视广播&#xff0c;几乎全部都采用调幅方式。其实&#xff0c;若是用调频方式来传输电视信号&#xff0c;…
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Qt Quick - 分隔器综述

Qt Quick - 分隔器综述

Qt Quick - 分隔器综述 一、概述二、MenuSeparator 控件1. 用法&#xff1a; 三、ToolSeparator 控件1. 用法 一、概述 Qt Quick Controls 提供了多种分隔符&#xff0c;其实就是分割一下MenuBar和ToolBar里面的内容。 控件功能MenuSeparator将菜单中的一组项目与相邻项目分开…
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Spring Boot + Spring Security基础入门教程

Spring Boot + Spring Security基础入门教程

Spring Security简介 Spring Security 是一个功能强大且高度可定制的身份验证和访问控制框架。Spring Security 致力于为 Java 应用程序提供身份验证和授权的能力。 Spring Security 两大重要核心功能&#xff1a;用户认证&#xff08;Authentication&#xff09;和用户授权&am…
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pandas 使用loc和iloc读取行数据或列数据

pandas 使用loc和iloc读取行数据或列数据

文章目录 一、 使用loc方法读取数据1.1 读取某行某列的值1.2 读取某个区域1.3 按照条件筛选 二. 使用iloc方法读取数据2.1 读取某行某列的值2.2 读取某个区域的数据 创建一个DataFrame data {name:[张三, 李四, 王五, 赵六],age:[20, 21, 22, 23], gender: [0, 1, 1, 1], stat…
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网络工程项目报价单应该怎么写？记住这6个步骤准没错！

网络工程项目报价单应该怎么写？记住这6个步骤准没错！

作为一名网络工程师&#xff0c;你在向潜在客户提供服务时&#xff0c;编写一个清晰明了的项目报价单是至关重要的。一个好的报价单不仅能够让客户更好地了解你的服务内容&#xff0c;还可以为你的项目提供更高的转化率。在本文中&#xff0c;我们将探讨如何编写一个有效的网络…
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