一文！解决恒定磁场的基本方程（有介质）

news2024/9/25 3:24:35

目录

引言

磁化过程

磁偶极矩

磁化强度

方程的化简

磁场强度

磁化率 磁导率 相对磁导率

现实生活中的应用

引言

为什么介质在磁场中会被磁化呢?

首先因为电子绕着原子核转动，所以就可以形成一个环形电流，，环形电流就可以产生磁场。因为在原先情况中环形电流是无规则分布的，所以站在统计学角度上看，所有环形电流的磁效应都被抵消掉了，所以对外不显示磁效应。现在因为外界施加磁场，所以每一个环形电流都会按照一定取向去排布，从而对外产生磁效应。

磁化过程

如同在电场中，我们把电偶极子看作是一个基本单位，在磁场中我们的基本单位就是磁偶极子

磁偶极子就是一个环形电流

磁偶极矩

我们定义磁偶极矩

\vec m=I \vec S

其中S的方向与电流的环流方向符合右手法则，而环流线圈的大小则由S的大小所决定

所以在外磁场的作用下，每一个环流线圈都想要让通过自己的磁通量最大，所以会呈一定的规则分布

那么在此时介质内部就会出现无数磁场线，宏观上就会产生磁效应

因为环形电流也按照一定的排列，所以在宏观上也就会产生电流（这个电流称之为磁化电流）

其实从另一个角度也不难理解

因为磁场是由一个又一个环路组成，而环形电流又是和磁环相互嵌套的，所以在出现磁场线的时候，必然相伴而生的会有环形电流的存在

因为电流是磁场的因，所以我们想办法把磁化电流进行等效，我们按照有介质的高斯定理的处理思路，我们可以把磁化电流等效成体电流还有面电流

磁化强度

我们定义一个新的物理量，磁化强度（此处可以类比极化强度）

就是将单位体积内的所有磁偶极矩求和，并取极限，这样我们就得到了等效的磁偶极矩

\vec M=lim_{\Delta v->0}\frac{\sum \vec m_i}{\Delta v}

\vec J_m=\nabla \times \vec M

\vec K_m = \vec M \times \vec e_n

 大家可以想一下，磁化强度就是在该点等效的磁偶极矩，也就可以写作

\vec M_{equal}=I_{equal} \ \vec S_{small},我们现在已知了\vec M_{equal}，如何求I呢

我们只需要对它求旋度，就可以把后面的环向量给约掉

所以\vec J_m=\nabla \times \vec M

而关于面磁化电流的理解可以看这一段

所以此时我们可以把整个介质撤走，换成我们等效出的面磁化电流和体磁化电流 

方程的化简

引入了之后我们还需要对方程进行一些化简 

因为磁化电流和自由电流的效果等效，所以安培环路定律就要变成

\oint_{L}\vec B \cdot d \vec l=\mu_0(I+I_{m})

而I_m=\oint_{S}J_m\cdot d\vec S

方程变为

\oint_{L}\vec B \cdot d \vec l=\mu_0( I + \oint_{S}J_m\cdot d\vec S )=\mu_0( I + \oint_{S}(\nabla \times \vec M) \cdot d\vec S )=\mu_0( I + \oint_{L} \vec M \cdot d\vec l )

进一步变形，变为

\oint_{L}(\frac{\vec B}{\mu_0} -\vec M)d \vec l=I

磁场强度

我们定义磁场强度

\vec H=\frac{\vec B}{\mu_0} -\vec M

所以就得到了有介质的安培环路定律

磁化率 磁导率 相对磁导率

现实生活中的应用

考虑到现实生活中的应用，在线性的各向同性的介质中

我们假设

\vec M=X_m \vec H

其中X_m称为磁化率

\vec B=\mu_0 \vec H+\mu_0 X_m \vec H= \mu_0(1+X_m)\vec H

我们假设\mu=\mu_0(1+X_m),1+X_m=\mu_r

其中\mu称为磁导率（有手册可以查）

\mu_r称为相对磁导率（相对于真空而言）

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