卷积函数

python提供了多种卷积方案，相比之下，定义在ndimage中的卷积函数，在功能上比numpy和signal中的卷积要稍微复杂一些，这点仅从输入参数的多少就可略窥一二

numpy.convolve(a, v, mode='full')
scipy.ndimage.convolve1d(input, weights, axis=-1, output=None, mode='reflect', cval=0.0, origin=0)

scipy.signal.convolve(in1, in2, mode='full', method='auto')
scipy.ndimage.convolve(input, weights, output=None, mode='reflect', cval=0.0, origin=0)

前两者为1维卷积函数，且ndimage可对多维数组沿着单个坐标轴进行卷积操作，后两者为多维卷积。

numpy和signal中的卷积函数，其mode都有三种，用以调节卷积后的边缘特性，如果输入的两个卷积对象的维度分别是$N$和$M$，则这三种模式的输出结果为

• full: 输出维度$N+M-1$，其最后一点的信号完全不交叠，故而边缘效应明显。
• same：输出维度$\max (M,N)$，边缘效应仍然可见
• valid：输出维度$|M-N|$，只返回完全交叠的区域，相当于把存在边缘效应的点都率除掉了

ndimage中的convolve针对边缘效应，对图像进行扩展，而其mode决定的就是扩展之后的填充格式，设待滤波数组为a b c d，则在不同的模式下，对边缘进行如下填充

	左侧填充	数据	右侧填充
reflect	d c b a	a b c d	d c b a
constant	k k k k	a b c d	k k k k
nearest	a a a a	a b c d	d d d d
mirror	d c b	a b c d	c b a
wrap	a b c d	a b c d	a b c d

其中，k通过参数cval设定。

这五种修改边界的方法，在scipy.ndimage的函数中十分普遍，尤其是涉及到卷积的滤波函数，堪称标配。

对比测试

接下来针对这些不同的卷积函数，做一下性能测试，用$5\times 5$的卷积模板，对$1000\times 1000$的矩阵进行卷积计算，来看一下不同实现方案的卷积，其速度如何

import numpy as np
import scipy.signal as ss
import scipy.ndimage as sn
from timeit import timeit


A = np.random.rand(1000,1000)
B = np.random.rand(5,5)

timeit(lambda : ss.convolve(A, B), number=10)
# 0.418
timeit(lambda : sn.convolve(A, B), number=10)
# 0.126

相比之下，ndimage中的卷积显然是更高效的。

接下来测试一下一维卷积的表现

A = np.random.rand(10000)
B = np.random.rand(15)

timeit(lambda : np.convolve(A, B), number=1000)
# 0.15256029999727616
timeit(lambda : ss.convolve(A, B), number=1000)
# 0.1231262000001152
timeit(lambda : sn.convolve(A, B), number=1000)
# 0.09218210000108229
timeit(lambda : sn.convolve1d(A, B), number=1000)
# 0.03915820000111125

相比之下，convolve1d不愧是写明了1d的卷积函数，速度最快，而numpy中提供的函数速度最慢。

卷积应用

卷积操作经常被作用在图像滤波以及边缘提取上，例如，通过类似下面这样的矩阵，可以将图像的纵向的边缘提取出来。

$$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 0& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right]$$

下面做一个简单的测试

from scipy.misc import ascent
import matplotlib.pyplot as plt
img = ascent()
temp = np.zeros([3,3])
temp[:,0] = -1
temp[:,2] = 1

edge = sn.convolve(img, temp)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(121)
ax.imshow(img)
ax = fig.add_subplot(122)
ax.imshow(edge)
plt.show()

效果如下，非常明显