目录
- AcWing算法基础课笔记 1.基础算法
- 二分排序
- 基本思想
- 代码
- 归并排序
- 基本思路
- 代码
- 高精度计算
- 加法
- 减法
- 乘法
- 除法
- 前缀和
- 一维
- 二维
AcWing算法基础课笔记 1.基础算法
二分排序
基本思想
基于分治的思想
- 确定哨兵 x x x:可以取左边界,中间值,右边界,甚至是任意值;
- 分区间:让小于 x x x的值全都归到 x x x的左边,大于 x x x的值全都归到 x x x的右边;
- 递归处理左右两端直到整个序列有序
代码
这是严蔚敏版数据结构快排的代码,也是我我一直用的代码,不是y神的模板。
去打洛谷题会报TLE
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int Array[N];
//分区间
int partition(int* array, int low, int high){
int value = array[low];
while(low < high){
while(low < high && array[high] >= value) high--;
array[low] = array[high];
while(low < high && array[low] <= value) low++;
array[high] = array[low];
}
array[low] = value;
return low;
}
//递归处理
void quicksort(int* array, int low, int high){
if(low < high){
int newvalue = partition(array, low, high);
quicksort(array, low, newvalue);
quicksort(array, newvalue+1, high);
}
}
int main(){
int n;
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i++) cin >> Array[i];
quicksort(Array, 0, n-1);
for(int i = 0; i < n; i++) cout << Array[i] << " ";
return 0;
}
归并排序
基本思路
基于分治的思想
- 确定分界点 m i d = ( l o w + h i g h ) / 2 mid = (low + high) / 2 mid=(low+high)/2
- 递归分解左右部分,直到不可再分
- 回溯归并
详细的思路讲解见归并排序详解:20分钟理解归并排序 ,讲的真的很好很好
代码
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int Array[N],tmp[N];
void mergesort(int* array, int low, int high){
if(low >= high) return; //数组没有元素或者只有一个元素时,直接返回
int mid = (low + high) / 2;
//递归分解左右部分,直到不可再分
mergesort(array, low, mid);
mergesort(array, mid + 1, high);
int k = 0, i = low, j = mid + 1;
//归并:合二为一
while(i <= mid && j <= high){ //对每个分组进行排序
if(array[i] <= array[j]) tmp[k++] = array[i++];
else tmp[k++] = array[j++];
}
//将剩下来的数组元素直接加到数组后面
while(i <= mid) tmp[k++] = array[i++];
while(j <= high) tmp[k++] = array[j++];
for(int i = low, j = 0; i <= high; i++ , j++) array[i] = tmp[j];
}
int main(){
int n;
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i++) cin >> Array[i];
mergesort(Array, 0, n-1);
for(int i = 0; i < n; i++) cout << Array[i] << " ";
return 0;
}
高精度计算
高精度计算即大整数的加减乘除,C++中没有表示大整数的类型,最长的long long也只有64位
而大整数指的是数字长度 ≤ 1 0 6 \leq 10^6 ≤106,注意是长度,不是数值。而小整数指的是数值 ≤ 1 0 9 \leq 10^9 ≤109
而在实际做题或者应用中,通常是这四种:
- 两个大整数相加
- 两个大整数相减
- 一个大整数乘以一个小整数
- 一个大整数除以一个小整数
大整数的存储:对于大整数通常用数组存储,从低位到高位存储比较方便。
加法
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
vector<int> add(vector<int>& A, vector<int>& B){
vector<int> C;
int t = 0; //应该压入数组的每一位数值
for(int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++){
if(i < A.size()) t += A[i];
if(i < B.size()) t += B[i]; //每一位A[i]+B[i]+t
C.emplace_back(t % 10); //存储的是模10的值
t = t / 10; //重新计算进位用于下一位的计算
}
if(t) C.emplace_back(t); //如果最后仍然有进位
return C;
}
int main(){
string a,b;
vector<int> A,B;
cin >> a >> b;
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.emplace_back(a[i] - '0');
for(int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.emplace_back(b[i] - '0');
vector<int> C = add(A, B);
for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
return 0;
}
减法
减法跟加法一样,需要额外考虑的是A与B谁大,并调用对应的减法函数并加上负号即可
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
//判断A是否大于B
bool cmp(vector<int>& A, vector<int>& B){
if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size(); //位数不等
for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--){ //注意从大到小判断
if(A[i] != B[i]) return A[i] > B[i]; //位数相等
}
return true; //两者相等
}
//此时的算法是在确定A>B的基础上进行编写的
vector<int> sub(vector<int>& A, vector<int>& B){
vector<int> C;
int t = 0; //应该压入数组的每一位数值
for(int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++){
if(i < A.size()) t = A[i] - t; //计算每一位需要A[i]-B[i]-t
if(i < B.size()) t -= B[i];
C.emplace_back((t + 10) % 10); //如果求出来的值大于0,就是自身,如果小于零,就要借位+10,而这两种情况都可以用+10再模10进行一步运算
if(t < 0) t = 1; //如果t小于零,就说明借位了,需要赋值1,用于下一位的计算
else t = 0;
}
while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); //去除前导零,例如11-11=00,需要把前面的0去掉同时保证如果答案就是0的时候则不去
return C;
}
int main(){
string a,b;
vector<int> A,B;
cin >> a >> b;
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.emplace_back(a[i] - '0');
for(int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.emplace_back(b[i] - '0');
if(cmp(A, B)){
vector<int> C = sub(A, B); //如果A>B,就用A-B
for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
}
else{
vector<int> C = sub(B, A); //如果A<B,就用B-A,然后加-号即可
cout << "-";
for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
}
return 0;
}
乘法
跟加法差不多,不难,需要注意的是对 t t t 的额外处理
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
vector<int> mul(vector<int>& A, int b){
vector<int> C;
int t = 0; //应该压入数组的每一位数值
for(int i = 0; i < A.size() || t; i++){ //确保把T处理完
if(i < A.size()) t += A[i] * b;
C.emplace_back(t % 10);
t = t / 10; //t不像加法,可能一次除不到位
}
return C;
}
int main(){
string a;
vector<int> A;
int b;
cin >> a >> b;
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.emplace_back(a[i] - '0');
vector<int> C = mul(A, b);
for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
return 0;
}
除法
除法要求商和余数,且商和其他三个运算不同,因为除法是从最高位开始计算的,所以要搞清对于每一位应该是从小到大进行操作还是从大到小
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
vector<int> div(vector<int>& A, int b, int& t){
vector<int> C;
t = 0; //应该压入数组的每一位数值
for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--){ //和加减乘不同,除法要从最高位开始
t = t * 10 + A[i]; //算出每一步的被除数:当前位的数值*10+下一位
C.emplace_back(t / b); //入数组的是被除数除以除数
t = t % b; //可能有余数,用于下一步的计算
}
reverse(C.begin(), C.end()); //由于最后是反着输出的,所以逆序一下
while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); //跟减法一样,去除前导0
return C;
}
int main(){
string a;
vector<int> A;
int b;
cin >> a >> b;
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.emplace_back(a[i] - '0');
int t;
vector<int> C = div(A, b, t);
for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
cout << " " << t;
return 0;
}
前缀和
一维
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int Array[N],s[N];
int main(){
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++){
cin >> Array[i];
s[i] = s[i-1] + Array[i]; //计算从下标1开始的前缀和
}
while (m--)
{
int low, high;
cin >> low >> high;
cout << s[high] - s[low-1] << endl; //计算任意下标范围内的元素之和
}
return 0;
}
二维
画个图就能理解
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int Array[N][N],s[N][N];
int main(){
int n,m,q;
cin >> n >> m >> q;
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= m; j++){
cin >> Array[i][j];
s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + Array[i][j]; //计算前缀和
}
}
while (m--)
{
int x1,y1,x2,y2;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
cout << s[x2][y2] - s[x2][y1-1] - s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1] << endl; //求范围和
}
return 0;
}