1. 关于torch.nn.functional.grid_sample函数的说明（F.grid_sample）

该函数的作用是在图像/体素空间中采样特征。

1.1 输入和输出：

变量名	数据类型	默认值	含义	备注
input	Tensor	-	原始图像/体素空间的特征	形状需为 $(B, C, H, W)$ 或 $(B, C, D, H, W)$ ，分别表示在图像中采样特征和在3D体素空间中采样特征
grid	Tensor	-	采样图像/体素空间的归一化坐标	形状需为 $(B, h, w, 2)$ （对应4维input的情况）或 $(B, d, h, w, 3)$ （对应5维input的情况），具体见1.2节
mode	str	‘bilinear’	采样特征的插值方式	可为’bilinear’（双线性插值）、‘nearest’（最近邻插值）、‘bicubic’（双三次插值）
padding_mode	str	‘zeros’	图像/体素空间外侧填充方式	可为’zeros’（零填充）、‘border’（边界值填充）或’reflection’（反射填充，详见官方介绍）
align_corners	bool	False	是否将像素看作点而非方块	False表示将像素看作方块，而True表示将像素看作点（具体见1.2节）
返回值	Tensor	返回值	采样得到的特征图	形状为 $(B, C, h, w)$ （对应4维input的情况）或 $(B, C, d, h, w)$ （对应5维input的情况）

1.2 需要注意的地方

以4维输入（即从图像采样特征）为例，设图像的大小为 $(H, W)$ 。

当align_corner=False时，函数会将像素视为方块，并以图像左上角像素的左上角为原点建立坐标系（如下左图所示）；否则函数会将像素视为点，以图像左上角像素（中心）为原点建立坐标系（如下右图所示）。
参数grid的元素需主要分布在 $[- 1, 1]$ 内，表示归一化采样坐标。其中 $- 1$ 表示图像范围内的最小坐标，而 $1$ 表示图像范围内的最大坐标（如上图所示）。
参数grid中的最后一维的顺序为 $(x, y)$ ，但输入图像大小 $(H, W)$ 对应 $y\_size,x\_size)$ 。例子如下：

a = torch.arange(12, dtype=torch.float).reshape(3,4).unsqueeze(0).unsqueeze(0)  # (1,1,3,4)
grid = torch.tensor([[[-0.25,-1.0], [1.0,-1.0]],
                     [[-1.0, 1.0], [1.0, 1.0]]]).unsqueeze(0)					# (1,2,2,2)
out = F.grid_sample(a, grid=grid, padding_mode='border')						# (1,1,2,2)
# 输出a：
# tensor([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
#           [ 4.,  5.,  6.,  7.],
#           [ 8.,  9., 10., 11.]]]])
# 输出out：
# tensor([[[[ 1.,  3.],
#           [ 8., 11.]]]])
# 我们只关注采样的左上角元素，坐标为(-0.25,-1.0)，对应上左图中的第一行第二个格子的顶部中心，
# 在双线性插值、边界值填充的情况下采样特征就是该像素的特征1。

对于5维输入（即从体素空间采样特征）的情况，参数grid中的最后一维顺序为 $(x, y, z)$ ，但输入体素空间大小 $(D, H, W)$ 对应 $z\_size,y\_size,x\_size)$ 。例子如下：

a = torch.arange(12, dtype=torch.float).reshape(3,4).unsqueeze(0).unsqueeze(0)  # (1,1,3,4)
grid = torch.tensor([[[[-0.25, -1.0, -1.0], [1.0, -1.0, -1.0]],
                      [[ -1.0,  1.0,  1.0], [1.0,  1.0,  1.0]]]]).unsqueeze(0)	# (1,1,2,2,3)
out = F.grid_sample(a, grid=grid, padding_mode='border')						# (1,1,1,2,2)
# 输出a：
# tensor([[[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
#            [ 4.,  5.,  6.,  7.],
#            [ 8.,  9., 10., 11.]],		# 第一层
# 
#           [[12., 13., 14., 15.],
#            [16., 17., 18., 19.],
#            [20., 21., 22., 23.]]]]])	# 第二层
# 输出out：
# tensor([[[[[ 1.,  3.],
#            [20., 23.]]]]])
# 我们只关注采样的左上角元素，前两个维度的坐标为(-0.25,-1.0)，对应上左图中的第一行第二个格子的顶部中心；
# 而第三个维度的坐标为-1.0，对应最上层的最上部（自行想象3D体素空间）。在双线性插值、边界值填充的情况下，
# 采样特征就是该体素（最上层、第一行第二个体素）的特征1。

2. 3D空间中的点向图像投影时的易错点

2.1 点向图像的投影

设图像的内参矩阵（ $3\times4$ ）扩维为 $4\times4$ 后的矩阵为 $\textbf{I}$ ，相机坐标系中的点（3维）扩维到4维后的向量为 $\textbf{p}=(x,y,z,1)^T$ ，图像坐标系下的像素索引（可为小数）为 $(u, v)$ ，深度为 $d$ ，则 $(ud,vd,d,1)^T=\textbf{I}\cdot\textbf{p}$