$\Gamma$函数

　　$\Gamma$函数(Gamma函数)是阶乘函数在实数和复数域的扩展。对于正整数$n$，阶乘函数表示为$n! = 1 \times 2 \times ... \times n$。然而，这个定义仅适用于正整数。Gamma函数的目的是将阶乘扩展到实数和复数域，从而计算实数和复数的“阶乘”。$\Gamma$函数定义如下：

$\displaystyle \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t} dt $

　　其中，$x$是一个复数，定义域是$\{x|x\in C- Z^--\{0\}\}$，也就是除了负整数和$0$之外的所有复数。通过这个定义，$\Gamma$函数可以用来计算实数和复数的“阶乘”。在实数域与复数域的可视化如下：

　　$\Gamma$函数具有以下性质：

　　1、对于正整数$n$，有$\Gamma(n) = (n - 1)!$。这表明$\Gamma$函数在正整数上与阶乘函数相符。

　　2、$\Gamma$函数满足递推关系：$\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)$(注意和整数阶乘的联系)。

　　3、$\Gamma$函数用于定义很多常见的概率分布，如$\Gamma$分布、Beta分布和t分布等。

$\Beta$分布

基于伯努利实验的推导

　　$\Beta$分布(Beta分布)与伯努利试验相关。在伯努利试验中，假设硬币朝上的概率为$p$。当抛$a+b$次硬币，硬币朝上的次数为$a$时，计算该情况的概率为

$ \displaystyle C_{a+b}^ap^a(1-p)^b$

　　上式表示二项分布在这一事件(即$a+b$次实验，$a$次正面)下的概率。则$\Beta$分布表示：把概率$p$看做随机变量，固定$a,b$，发生相应事件的概率分布。为了获取$\Beta$分布的概率密度，需要计算以上概率关于$p$的积分的归一化系数$k$，使得：

$\displaystyle k \int_0^1C_{a+b}^ap^a(1-p)^b dp=1$

　　推导出

$\displaystyle k =\left(\int_0^1C_{a+b}^ap^a(1-p)^b dp\right)^{-1}=a+b+1 $

　　以上积分我不会算，但是可以通过以下程序来验证。

from scipy.special import comb

def Int(func, l, h, n=1000): #模拟定积分
    a = np.linspace(l, h, n)
    return func(a).sum()*(h-l)/n
a, b = 5, 2 #取任意自然数
k = a + b + 1
def func(x):
    return comb(a+b, a) * (x**a) *((1-x)**b)
Int(func, 0, 1) * k # = 1

　　获得概率密度函数：

$ \begin{align} f(p; a, b)&=(a+b+1)C_{a+b}^ap^a(1-p)^b\\ &=\frac{(a+b+1)!}{a!b!}p^a(1-p)^b\\ \end{align} $

　　把阶乘拓展为$\Gamma$函数，上式就变成

$ \begin{align}f(p; a, b)= \frac{\Gamma(a+b+2)}{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}p^a(1-p)^b\end{align}$

　　令$a=\alpha-1,b=\beta-1,p=x$，就可以得到常见的$\Beta$分布的密度函数表示形式：

$ \begin{align}\displaystyle f(x;\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}=\frac{1}{\Beta(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\end{align}$

　　其中$\Beta(\alpha,\beta)$为$\Beta$函数，$\alpha>0,\beta>0,0<x<1$。关于均值、方差什么的这里就不赘述了。

联合概率密度

正整数情况

　　关于(2)式，我们把其中的$a,b,p$都看作随机变量，再除以一个归一化系数，就可以构成这三个随机变量的联合概率密度，从而可以非常直观地理解$\Beta$分布。分别固定抽样次数$n=0,1,2,5,10,15$，可视化如下：

　　其中，当以抽样概率$p$为条件时，在y轴上，就是离散的关于$a$的二项分布。当以$a$为条件时，在x轴上，就是连续的关于$p$的$\Beta$分布。可以观察到，当$a<b$时，$\Beta$分布左偏，否则右偏，在$n=0$时，变为均匀分布。

　　此外，当在y轴方向上进行求和，可以得到$p$的边缘分布，为均匀分布；而当在x轴方向上进行积分，得到$a$的边缘分布，也是均匀分布。但感觉边缘分布似乎没有什么意义，不知理解是否正确。可视化代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import gamma
import numpy as np
import matplotlib 
matplotlib.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman'

def Beta(a, b, p):
    g1, g2, g3 = gamma(a+b+2), gamma(a+1), gamma(b+1)
    return g1/(g2*g3) * p**(a) * (1-p)**(b)
def BetaHot(n, samp_n = 1000):
    p = np.linspace(0, 1, samp_n)
    a = np.linspace(0, n, n+1)
    P, A = np.meshgrid(p, a)

    Z = Beta(A, n-A, P)/(n+1)
    per_width = samp_n//(n+1)
    Z1 = np.repeat(Z, per_width, 0)
    # 热力图
    plt.imshow(Z1, origin='lower', cmap='Blues')
    plt.colorbar()
    # 关于p的密度图
    for i, t in enumerate(Z):
        plt.plot(np.linspace(-0.5, samp_n-0.5, samp_n), i*per_width+per_width*t-0.5, '--', c='red')
    # 绘图设置
    plt.xlabel("p")
    plt.ylabel('a')
    old_yticks = np.linspace(per_width/2-0.5, Z1.shape[0]-0.5-per_width/2, n+1)
    plt.yticks(old_yticks, [f'{i:.0f}' for i in np.linspace(0, n, n+1)])
    old_xticks = np.linspace(-0.5, samp_n-0.5, 6)
    plt.xticks(old_xticks, [f'{i:.1f}' for i in np.linspace(0, 1, 6)])
    plt.ylim([0, samp_n+4])
    plt.title("n = a + b = %d"%n)
    plt.savefig('img/n = %d.png'%n)
    plt.show()

for n in [0, 1, 2, 5, 10, 15]:
    BetaHot(n)

一般情况

　　以上可视化的是$a,b$取为正整数时$\Beta$分布的情况，即(2)式。对于更一般的情况(4)式，即取$\alpha,\beta$为大于0的实数，在(3)式中就是$a>-1,b>-1$，尽管并不符合真实伯努利试验的情况，但仍可以计算。可视化如下：

　　可以看出，$a,b$都小于0时，密度函数会变成U形。且依旧是，$a$相比$b$越小，形状越往左偏。可视化代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import gamma
import numpy as np
import matplotlib 
matplotlib.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman'

def Beta(a, b, p):
    g1, g2, g3 = gamma(a+b+2), gamma(a+1), gamma(b+1)
    beta = g1/(g2*g3) * p**(a) * (1-p)**(b)
    return beta

for n in [-1, 0, 1, 2, 5, 10]:
    for a in np.linspace(-0.9, n+0.9, 3):
        p = np.linspace(0.0001, 0.9999, 300)
        b = n-a
        y = Beta(a, b, p)
        plt.plot(p, y, label="a = %.1f, b = %.1f"%(a, b))
    plt.legend(loc='upper center')
    plt.ylim([-0.1, 3])
    plt.title('a + b = %.1f' % n)
    plt.savefig('img/a + b = %.1f.png' % n)
    plt.show()

关于共轭先验

　　$\beta$分布是二项分布的共轭先验，我的理解：暂时不理解，看完书再回来写

狄利克雷分布

　　狄利克雷分布是$\Beta$分布在高维上的推广，其概率密度函数表示为

$\displaystyle f(x_1,x_2,...,x_k;\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k)=\frac{\Gamma(\sum_{i=1}^k\alpha_i)}{\prod_{i=1}^k\Gamma(\alpha_i)} \prod_{i=1}^kx_i^{\alpha_i-1}$

　　也就是把伯努利实验得到的二项分布变成多项分布(比如骰子实验)，相应地得到狄利克雷分布。狄利克雷分布中的正单纯形，表示多项分布每种抽样的概率之和为1，即$x_1+x_2+...+x_k=1,x_i>0$。