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8. 什么是iO，基于多线性配对的iO：多线性拼图，从MBP开始构建多线性拼图
9. Computer Scientists Achieve ‘Crown Jewel’ of Cryptography

Indistinguishability Obfuscation

软件工程里的 Code Obfuscation（字符替换、加入冗余、汇编语言，使代码可读性差），严格意义上并不是好的混淆，因为人眼区分不出来的程序，并不意味着任意的 PPT 敌手（计算机程序）无法区分。事实上，使用反汇编工具，立即可以得到可读性不错的 C 代码。

密码学中的定义为：Virtual Black Box Obfuscation（虚拟黑盒混淆，VBB），一个 Obfuscator 将电路 $C$ 混淆为 $\mathcal{O}(C)$，就如同封装在了一个黑盒 Oracle 里，唯一可做的就是输入 $x$ 输出 $C(x)$，并且无法获得关于 $C$ 的其他信息。

当然，如果电路的输出本身就包含电路的信息（例如它打印自己的代码），那么混淆是无意义的，这种电路称为 Learnable Program。VBB 仅用于混淆 Unlearnable 的电路。但是 BGI+01 证明：存在一族 Unlearnable 的电路 $C^{\ast }$，那么任意的 Obfuscator 都无法混淆它的某个属性，但如果放入 Oracle 则可以隐藏这个属性。也就是说：通用 VBB 不存在（VBB Impossibility Result）。

BGI+01 提出了一种新的定义：Indistinguishability Obfuscation（不可区分混淆），一个 Indistinguishability Obfuscator 将两个相同功能的电路 $C_1,C_2$ 混淆为 $i\mathcal{O}(C_1),i\mathcal{O}(C_2)$，使得敌手无法区分这两个电路。

现在，我们给出不可区分混淆的正式定义：一个 uniform PPT 的机器 $i\mathcal{O}$ 称为关于电路簇 { C λ } \{\mathcal C_\lambda\} {Cλ​} 的一个不可区分混淆器（indistinguishability obfuscator），如果它满足

1. 功能性保持（Functionality Preserving）：对于任意的 $\lambda \in \mathbb{N}$，任意电路 $C\in {\mathcal{C}}_{\lambda }$，有
   $$Pr[C^{\prime }(x)=C(x):C^{\prime }\leftarrow i\mathcal{O}(\lambda ,C)]=1$$

2. 不可区分性（Indistinguishability）：对于任意的 $\lambda \in \mathbb{N}$，任意的（non-uniform）PPT 区分器 $\mathcal{D}$，任意的一对电路 $C_0,C_1\in {\mathcal{C}}_{\lambda }$，如果 $C_0(x)=C_1(x),\forall x$，那么
   $$|Pr[\mathcal{D}(i\mathcal{O}(\lambda ,C_0))=1]-Pr[\mathcal{D}(i\mathcal{O}(\lambda ,C_1))=1]|\le negl(n)$$

3. 有效性（Efficiency）：混淆器是 PPT 的，其输出长度满足 $|i\mathcal{O}(\lambda ,C)|\le poly(|C|)$。因为任意函数都可表示为一个指数大的表格，它是不可区分的但是平凡的。

关于 $N{C}^1$ 的不可区分混淆器：如果 ${\mathcal{C}}_{\lambda }$ 是深度至多为 $O(\log \lambda )$ 大小至多为 $O(\lambda )$ 的电路簇。

关于 $P/poly$ 的不可区分混淆器：如果 ${\mathcal{C}}_{\lambda }$ 是大小至多为 $O(\lambda )$ 的电路簇（带有多项式长度 advice 的多项式时间图灵机，非一致多项式时间）。

区分两个混淆：

• Obfuscation：程序混淆。保护生成方的电路信息，计算方可以在电路上多次执行任意的输入。
• Garbled Circuit：姚期智的混淆电路。一种基于对称原语的 2PC 方案，保护参与双方的输入，并不保护电路信息，且计算方只能执行某一组输入（通过 OT 协议）。

Multilinear Jigsaw Puzzles

在 GGH13 和 GGH15 中给出了基于格的多线性映射方案，而 GGH+13 基于此构造了多线性拼图，并给出了第一个不可区分混淆器 $i\mathcal{O}$ 的构造。但是后续人们发现了 GGH13 和 GGH15 的多线性映射的弱点，不过幸运的是 GGH+13 只将多线性映射作为一个黑盒来调用，并不关注它的具体实现。然而，多线性度 $n\ge 3$ 的多线性映射如何实现安全性是个问题；目前已知双线性映射是安全的。Lin 经过一系列研究，将多线性度降低到了常数级，最终在 JLS20 中成功将 iO 建立在了双线性映射上。

多线性拼图猜谜（Multilinear Jigsaw Puzzles）是多线性编码（multilinear encoding schemes）的严格子集，类似拼图一样编码值的组合受限。类似于双线性映射，素数 $p$ 阶群上的多线性映射（multilinear maps）为：
$$\begin{array}{r}e:G_1\times G_2\times \cdots \times G_k\to G_T\\ (g_1^{x_1},g_2^{x_2},\cdots ,g_k^{x_k})\to g_T^{{\prod }_i{x}_i}\end{array}$$

易知 $e(g_1^{x_1},g_2^{x_2},\cdots ,g_k^{x_k})\cdot e(g_1^{y_1},g_2^{y_2},\cdots ,g_k^{y_k})=g_T^{{\prod }_i{x}_i+{\prod }_i{y}_i}$，且 $e(g_1,g_2,\cdots ,g_k)=g_T$。有效的多线性型（valid multilinear form）就是任意的形如 ${\prod }_{i}e(x_{i1},\cdots ,x_{ik}{)}^{w_i}\cdot {\prod }_j{g}_T^{w_j}$ 的可通过群运算和多线性映射表示的任意组合。

多线性拼图猜谜，它是一个 PPT 算法组 $MJP=(JGen,JVer)$，

• 拼图生成器（Jigsaw Generator）：输入一些明文，输出拼图碎片（明文的编码值），这些拼图碎片只能以十分受限的方式通过群运算和多线性映射组合。

• 拼图验证器（Jigsaw Verifier）：输入拼图碎片以及一个关于这些拼图碎片组合方式的多线性型，验证这个多线性型是否成功地将碎片组合成了明文 $0$ 的编码值。

拼图区分符（Jigsaw Specifier）是一个三元组 $\{(k_{\lambda },l_{\lambda },A_{\lambda }){\}}_{\lambda \in {\mathbb{Z}}^{+}}$，其中 $k,l\in {\mathbb{Z}}^{+}$，而 $A$ 是一个概率电路：输入素数 $p$，输出有序集合 $\{(S_1,a_1),\dots ,(S_l,a_l)\}$，其中 $a_i\in {\mathbb{Z}}_p$ 是明文，$S_i\subseteq [k]$ 是编码级别（encoding levels）。

多线性型（Multilinear Form）是一个四元组 $\mathcal{F}=(k,l,\Pi ,F)$，其中 $k,l\in {\mathbb{Z}}^{+}$，$\Pi$ 是有 $l$ 条 input wires 的多项式大小的电路，$F$ 是对电路 $\Pi$ 中每条 wires 的指标集 $S\subseteq [k]$ 的赋值。电路的构成和约束是：

• 一元减法门 $\ominus$，输入线和输出线的指标集相同，运算为 $(S,a)\to (S,-a)$
• 二元加法门 $\oplus$，输入线和输出线的指标集相同，运算为 $(S,a_1)\times (S,a_2)\to (S,a_1+a_2)$
• 二元乘法门 $\otimes$，输入线的指标集是 disjoint sets，输出线的指标集是不交并，运算为 $(S_1,a_1)\times (S_2,a_2)\to (S_1\cup S_2,a_1\cdot a_2)$
• 忽略门（ignore gate）$\square$，入度任意，出度为零
• 电路的 output wire，指标集是全集 $[k]$

多线性运算（multilinear evaluation）：输入为 $X=(p,\{(S_i,a_i)\})\leftarrow (k,l,A)$，且 $\mathcal{F}$ 的 input wires 的指标集赋值为 $S_i$，如果在 ${\mathbb{Z}}_p$ 上进行运算后，使得输出线为 $([k],0)$，我们说 $\mathcal{F}(X)$ 成功（在受限的组合下使得 $C(x)=0$）。

拼图生成器是一对 PPT 算法 $JGen=(InstGen,Encode)$，

1. 随机实例生成器 $(p,prms,s)\leftarrow InstGen(1^{\lambda },1^k)$，输入为：安全参数 $1^{\lambda }$ 、多线性参数 $k$，输出为：素数 $p$、公开参数 $prms$、用于编码的秘密状态 $s$
2. 随机编码算法 $(S,u)\leftarrow Encode(p,prms,S,a)$，输入为：随机实例 $(p,prms,s)$、编码级别 $S\subseteq [k]$、明文 $a$，输出为：编码级别和 $a$ 的编码值 $u$
3. $(p,X,puzzle)\leftarrow JGen(1^{\lambda },(k,l,A))$，给定安全参数 $\lambda$ 以及一个拼图区分符 $(k,l,A)$，先执行 $InstGen$ 获得随机实例 $(p,prms,s)$，然后执行 $A(p)$ 获得明文的有序集合 $X:=(p,(S_1,a_1),\cdots ,(S_l,a_l))$，最后使用秘密 $s$ 执行 $Encode$ 编码出一个谜题 $puzzle:=(prms,(S_1,u_1),\cdots ,(S_l,u_l))$。

拼图验证器是一个 PPT 算法 $JVer$，

1. $0/1\leftarrow JVer(puzzle,\mathcal{F})$，输入为：一个关于 $X$ 的谜题 $puzzle$、一个多线性型 $\mathcal{F}=(k,l,\Pi ,F)$
2. 正确性：如果满足 $\mathcal{F}(X)=([k],0)$，那么 $JVer$ 输出 $1$ 表示接受。如果满足 $\mathcal{F}(X)\ne ([k],0)$，那么 $JVer$ 输出 $0$ 表示拒绝。
3. 我们要求对于随机的 $JGen$ 输出，以极大概率 $JVer$ 对所有的多线性型都正确。

iO for $N{C}^1$

Randomized Branching Programs

根据 Barrington’s theorem，可以使用 5-PBP 分支程序 表达在 $N{C}^1$ 中的布尔电路。GGH+13 在 Kilian 的多方安全计算的基础上，加入更多随机化技术得到了 $N{C}^1$ 上的不可区分混淆。

Kilian 的两方安全计算：Alice 和 Bob 需要计算 $C(x,y)$，其中 $|x|+|y|=l$，令总的输入为 $\chi :=(x\Vert y)$，步骤如下，

1. 首先 Alice 将 $C$ 转化为 5-PBP 程序 $\{(inp(i),A_{i,0},A_{i,1}){\}}_{i=1}^n$
2. 然后 Alice 选择 $n$ 个随机的可逆阵 { R i } i = 1 n \{R_i\}_{i=1}^n {Ri​}i=1n​，计算 ${\bar{A}}_{i,b}=R_{i-1}{A}_{i,b}{R}_i^{-1}$，这里 $i-1(\mathrm{mod}n)$ 从而 $R_0{R}_n^{-1}=I$，我们将这个新的 5-PBP 叫做随机化分支程序（randomized branching program，RBP），Kalian 证明它可以完美隐藏（perfect hide）Alice 的输入 $x$ 与矩阵 $A_{i,{\chi }_{inp(i)}}$ 之间的对应关系。
3. Alice 将自己的输入 $x$ 对应的矩阵 { A ˉ i , χ i n p ( i ) : i n p ( i ) ≤ ∣ x ∣ } \{\bar A_{i,\chi_{inp(i)}}:inp(i)\le |x|\} {Aˉi,χinp(i)​​:inp(i)≤∣x∣}，直接发送给 Bob
4. Bob 通过 OT 协议，获取到输入 $y$ 对应的矩阵 { A ˉ i , χ i n p ( i ) : i n p ( i ) > ∣ x ∣ } \{\bar A_{i,\chi_{inp(i)}}:inp(i) > |x|\} {Aˉi,χinp(i)​​:inp(i)>∣x∣}
5. Bob 执行 5-PBP 程序 $P={\prod }_i{\bar{A}}_{i,{\chi }_{inp(i)}}$，根据 $P\stackrel{?}{=}I$ 判断计算结果 $C(x,y)\stackrel{?}{=}0$

我们直接将上述协议中的 Alice 和 Bob 分别作为不可区分混淆的混淆器（obfuscator）和计算器（ evaluator），令 $C(\cdot ,\cdot )$ 是通用电路（universal circuit），Alice 的输入 $x$ 是待混淆电路的描述，Bob 输入 $y$ 输出 $C_x(y)$。与 Kalian 协议不同的是 Alice 直接将 $y$ 对应位置的所有随机矩阵 $\{({\bar{A}}_{i,0},{\bar{A}}_{i,1}):inp(i)>|x|\}$ 都发送给 Bob，这使得 Bob 可以随意执行关于不同输入的多次计算。但是这将导致一些问题：

• Partial Evaluation Attacks：敌手可以针对不同输入 $(x,y),(x,y^{\prime })$ 计算部分矩阵乘 ${\prod }_{i=j}^k{\bar{A}}_{i,{\chi }_{inp(i)}}=R_{j-1}{\prod }_{i=j}^k{A}_{i,{\chi }_{inp(i)}}{R}_k^{-1}$，由于 $R_{j-1},R_k$ 是固定的，因此比较两者就可以获得内部的关于 $x$ 的矩阵 $A_{i,{\chi }_{inp(i)}}$ 的信息。
• Mixed Input Attacks：由于每个 index 可能在 BP 中多次使用，如果敌手针对不同位置 $inp(j)=inp(k)=i$ 的矩阵选用不同的取值 $y_i=0$ 和 $y_i=1$，这也会泄露 $x$ 的信息。
• Other attacks：敌手可能不遵守矩阵的代数结构，或者在矩阵上计算非线性函数。

下面，我们依次解决这三个问题。

Multilinear Jigsaw Puzzles

为了解决 Other attacks，GGH+13 使用多线性拼图，约束敌手无法执行非线性运算。

• 将 $JGen$ 作为混淆器，
  1. 首先执行 $InstGen$ 获得一个多线性度（multi-linearity）为 $n$ 的随机实例；
  2. 由 Jigsaw specifier 给出上一节中的 RBP 程序，它有 $n$ 对明文矩阵；
  3. 执行 $Encode$ 对矩阵进行编码，将 ${\bar{A}}_{i,b}$ 的每个 entry 以级别 { i } \{i\} {i} 编码（受多线性型的约束，每个矩阵至多在乘法链中出现一次）。
• 将 $JVer$ 作为计算器，受限地计算矩阵乘积，并验证结果是否是单位阵。

Bookends Components

为了解决 Partial Evaluation Attacks，GGH+13 认为关键在于随机性不够多，于是通过扩张矩阵维度来加入更多随机性。

对于 5-PBP 中的矩阵 $A_{i,b}$，将它扩充到更高维，
$$D_{i,b}=\left[\begin{array}{cccc}\$& & & \\ & \ddots & & \\ & & \$& \\ & & & A_{i,b}\end{array}\right],{\bar{D}}_{i,b}=R_{i-1}{D}_{i,b}{R}_i^{-1}$$

其中 $$$ 表示随机数，$D_{i,b}$ 是 $2m+5$ 阶矩阵，它的左上角是 $2m$ 阶随机对角阵，这个对角阵关于每个 $A_{i,b}$ 是唯一的（不要复用）。随机化矩阵 $R_i$ 的维度也提升到了 $2m+5$ 阶。

虽然没有理由认为 $m=1$ 不安全，GGH+13 还是选取了较大的 $m=2n+5$ 以抵御非预期的攻击。

现在，RBP 的计算结果为 ${\prod }_i{\bar{D}}_{i,{\chi }_{inp(i)}}=R_{0}P{R}_n^{-1}$，其中 $P={\prod }_i{D}_{i,{\chi }_{inp(i)}}$ 的右下角的 $5$ 阶子矩阵为原始 5-PBP 的计算结果 $A={\prod }_i{A}_{i,{\chi }_{inp(i)}}$。为了提取它，GGH+13 设计了特殊的”书挡向量“（bookend），它们被分为 $m+m+5$ 三块，
$$s=(0,\cdots ,0,\$,\cdots ,\$,-s^{\ast }-),t=(\$,\cdots ,\$,0,\cdots ,0,-t^{\ast }-)$$

将 $\bar{s}=s{R}_0^{-1}$ 以及 $\bar{t}=R_n{t}^T$ 作为 RBP 的一部分。容易看出 $r:=\bar{s}\cdot {\prod }_i{\bar{D}}_{i,{\chi }_{inp(i)}}\cdot \bar{t}=s^{\ast }A{t^{\ast }}^T$，当 $A=I$ 时它为内积 $r^{\ast }:=⟨s^{\ast },t^{\ast }⟩$，当 $A$ 是随机置换阵等于这个值的概率约为 $1/p$。

因此，判断 $C_x(y)=0$ 就是用 $JVer$ 判断 $r^{\prime }:=r-r^{\ast }$ 是否为零，除了一个较小的错误率。

Multiplicative Bundling

为了解决 Mixed Input Attacks，可以类似 SPDZ 或者 ZKsnark，通过“牺牲”另一个相同的程序，来确保敌手的计算步骤的合法性。

GGH+13 使用乘法捆绑（multiplicative bundling），随机选择 { α i , b } \{\alpha_{i,b}\} {αi,b​} 构造计算 $C_x(y)$ 的主程序 ( s , t , { D i , b ′ } ) (s,t,\{D_{i,b}'\}) (s,t,{Di,b′​})，
$$D_{i,b}=\left[\begin{array}{cccc}\$& & & \\ & \ddots & & \\ & & \$& \\ & & & {\alpha }_{i,b}{A}_{i,b}\end{array}\right],{\bar{D}}_{i,b}^{\prime }=R_{i-1}{D}_{i,b}{R}_i^{-1}$$

然后随机选择 { α i , b ′ } \{\alpha_{i,b}'\} {αi,b′​} 构造计算 $f(x,y)=1$ 的虚拟程序 ( s ′ , t ′ , { D i , b ′ } ) (s',t',\{D_{i,b}'\}) (s′,t′,{Di,b′​})，
$$D_{i,b}^{\prime }=\left[\begin{array}{cccc}\$& & & \\ & \ddots & & \\ & & \$& \\ & & & {\alpha }_{i,b}^{\prime }I\end{array}\right],{\bar{D}}_{i,b}^{\prime }=R_{i-1}^{\prime }{D}_{i,b}^{\prime }{R_i^{\prime }}^{-1}$$

为了保证当 $A=I$ 时，主程序的结果 $r:=s^{\ast }A{t^{\ast }}^T\cdot {\prod }_i{\alpha }_{i,{\chi }_{inp(i)}}$ 与虚拟程序的结果 $r^{\ast }:=s^{{\ast }^{\prime }}I{t^{{\ast }^{\prime }}}^T\cdot {\prod }_i{\alpha }_{i,{\chi }_{inp(i)}}^{\prime }$ 相同，这需要满足两个约束条件：首先是 $⟨s^{\ast },t^{\ast }⟩=⟨s^{{\ast }^{\prime }},t^{{\ast }^{\prime }}⟩$，其次是
∏ i n p ( i ) = j α i , b = ∏ i n p ( i ) = j α i , b ′ , ∀ j ∈ [ l ] , b ∈ { 0 , 1 } \prod_{inp(i)=j}\alpha_{i,b} = \prod_{inp(i)=j}\alpha_{i,b}',\forall j \in [l],b \in \{0,1\} inp(i)=j∏​αi,b​=inp(i)=j∏​αi,b′​,∀j∈[l],b∈{0,1}

如果敌手遵循了 PBP 的计算法则，那么 $r^{\prime }:=r-r^{\ast }=0$ 就正确反映了 $C_x(y)=0$ 的计算结果。而如果敌手试图采取 mix-and-match 的攻击，那么主程序和虚拟程序的结果将是独立随机的，只有 $1/p$ 的概率使得 $r^{\prime }=0$

iO Candidate for $N{C}^1$

方便起见，我们定义 I j = { i : i n p ( i ) = j } I_j=\{i:inp(i)=j\} Ij​={i:inp(i)=j}。另外，我们将 $inp(\cdot )$ 扩展到集合上，定义 i n p ( S ) = { i n p ( i ) : i ∈ S } inp(S)=\{inp(i):i \in S\} inp(S)={inp(i):i∈S}，以及 I J = { I j : j ∈ J } I_J=\{I_j:j \in J\} IJ​={Ij​:j∈J}。

综合上述的技术，我们获得了如下的安全性更好的 RBP 程序：

我们使用多线性拼图来执行上述的长度为 $n$ 的 RBP 程序：首先执行 $JGen.InstGen$ 获得多线性度为 $n+2$ 的随机实例，然后执行拼图区分符 $(k,l,A)$ 获得上述的 $RN{D}_p(BP)$ 及其编码索引，接着执行 $JGen.Encode$ 将它编码为

给定一组输入 χ : = ( x ∥ y ) ∈ { 0 , 1 } l \chi:=(x\|y) \in \{0,1\}^l χ:=(x∥y)∈{0,1}l，我们定义它的多线性型 ${\mathcal{F}}_{\chi }$ 为：
$${\mathcal{F}}_{\chi }(RN{D}_p(BP)):=\bar{s}\cdot \prod _i{\bar{D}}_{i,{\chi }_{inp(i)}}\cdot \bar{t}-{\bar{s}}^{\prime }\cdot \prod _i{\bar{D}}_{i,{\chi }_{inp(i)}}^{\prime }\cdot {\bar{t}}^{\prime }(\mathrm{mod}p)$$

易知，当 $C_x(y)=0$ 时 $BP(\chi )=I$，此时以 $Pr=1$ 的概率 ${\mathcal{F}}_{\chi }(RN{D}_p(BP))=0$。而当 $C_x(y)\ne 0$ 时 $BP(\chi )\ne I$，此时以 $Pr=1-1/p$ 的概率 ${\mathcal{F}}_{\chi }(RN{D}_p(BP))\ne 0$。

现在，我们定义部分赋值的 RBP 程序（Garbled Branching Programs）。定义赋值函数为 σ : J → { 0 , 1 } , J ⊆ [ l ] \sigma:J \to \{0,1\}, J \subseteq [l] σ:J→{0,1},J⊆[l]，接着从 RBP 中移除 $i\in I_J,b\ne \sigma (inp(i))$ 的那些矩阵 $D_{i,b},D_{i,b}^{\prime }$，程序如下：

其中 $(J,\sigma )$ 是一组部分赋值，如果 $BP$ 计算的原始函数为 $F$，那么现在它所计算的函数为 $F{|}_{\sigma }$。对于不同的赋值 $(J,{\sigma }_0),(J,{\sigma }_1)$，如果 $F{|}_{{\sigma }_0}=F{|}_{{\sigma }_1}$，我们称两个部分赋值是关于 $F$ 功能等价的（functionally equivalent）。

GGH+13 做了一个 Equivalent Program Indistinguishability 假设：任意的 $n$ 长 BP 程序可计算函数 F : { 0 , 1 } l → { 0 , 1 } F:\{0,1\}^l \to \{0,1\} F:{0,1}l→{0,1}，以及任意部分赋值 $(J,{\sigma }_0),(J,{\sigma }_1)$，如果它们是功能等价的，那么它们的 garbled programs 是计算不可区分的，
$$GARBLE({\overline{RND}}_p(BP),(J,{\sigma }_0))\stackrel{c}{\equiv }GARBLE({\overline{RND}}_p(BP),(J,{\sigma }_1))$$

根据上述假设，就可以构造出电路类 $N{C}^1$ 上的不可区分混淆器 $i\mathcal{O}$：

1. 对于固定常数 $c$，任意安全参数 $\lambda$，电路簇 ${\mathcal{C}}_{\lambda }$ 包含所有的深度为 $c\log \lambda$ 大小至多为 $\lambda$ 的电路，令 $U_{\lambda }$ 是通用电路，$U_{\lambda }(C,m)=C(m),\forall C\in {\mathcal{C}}_{\lambda }$，其中 $C$ 是长度 $l(\lambda )$ 的电路描述。

2. 将通用电路 $U_{\lambda }$ 转化为 universal branching program $UB{P}_{\lambda }(C,m)$，令混淆器的输入 $C$ 对应的矩阵指标集为 $I_C$，电路 $C$ 的一组赋值为 ${\sigma }_C$，那么定义不可区分混淆器为
   $$i\mathcal{O}(\lambda ,C):=GARBLE({\overline{RND}}_p(UB{P}_{\lambda }),(I_C,{\sigma }_C))$$

3. 对于不同的两个有相同功能的电路 $UB{P}_{\lambda }(C_1,\cdot ),UB{P}_{\lambda }(C_2,\cdot )$，根据 Equivalent Program Indistinguishability 的假设，$i\mathcal{O}(\lambda ,C_1)\stackrel{c}{\equiv }i\mathcal{O}(\lambda ,C_2)$，混淆后两者计算不可区分。

iO for Poly-sized Circuit

为了构造语言类 $P/poly$ 上不可区分混淆，GGH+13 引入一个解密算法属于 $N{C}^1$ 的全同态加密，使得我们可以在密文下计算 $P/poly$ 电路。另外，还需要一个 Perfect Soundness 的 NI-ZKP，特别地要求它有 low-depth proof，可以在 $N{C}^1$ 电路中被验证。

选取两个公私钥对 $(S{K}_1,P{K}_1),(S{K}_2,P{K}_2)$，将电路 $C$ 加密两次，然后将其中之一的解密电路做混淆（不可区分是哪个秘钥的解密电路）。在解密之前，首先验证敌手在两个电路上都是正确计算的。协议如下：

接着 GGH+13 在这个的基础上，再加入 PKE 和 SSS-NIZK（Statistical Simulation-Soundness），构造了一个应用：函数加密（Functional Encryption）。思路是：在 $i\mathcal{O}$ 下简单地解密密文，然后直接在明文上计算任意函数，将这个混淆程序 $i\mathcal{O}(f(Dec(sk,ct)))$ 作为函数私钥 $S{K}_f$。类似上面的构造，它也需要两个公私钥对，并使用 NIZK 验证密文的正确性，然后才提供解密谕言服务。