二叉排序树（二叉查找树）基本操作_20230417

1. 前言

二叉排序树首先是一颗二叉树，它不同于常规二叉树的地方在于，如果左子树不为空，那么左子树上所有结点的值都不大于根节点的值，如果右子树不为空，那么右子树上所有的值不小于根节点的值，而且它的左右子树本身也属于二叉排序树。

二叉排序树的形式和元素的输入顺序相关，它最坏的情况下可能退化为有序线性表。大多数条件下，二叉排序树既具备二叉树的折半查找行者，又采用了链表作为储存结构，加强了数据储存的灵活性，不失为一种优秀的数据储存结构。

下面的二叉排序树通过中序遍历，就得到一组有序表。

2. 二叉排序树的基本操作

2.1 查找操作

二叉排序树的查找操作操作可通过递归实现，由于二叉排序树当中的每个元素都包含有数据域、左孩子指针和右孩子指针，通过递归可以定位到是在左孩子还是右孩子区域进行查找。如果元素比对成功，则返回 true；如果查找失败，则返回false. 如果查找成功，其中的某个递归变量保留查找成功的结点，如果没有找到目标元素，则某个递归变量保留此元素的根节点（父节点）的位置。

查找的实际上是沿着根节点往下遍历的过程，它会形成一颗合适的遍历路径，如果配对成功，路径上的结点都是目标结点的父节点。

看一个具体的例子。给点上述二叉排序树，要求查找元素的值为30，那么遍历形成路径用绿色虚线表示，遍历经过了左–>左–>右的路径。

元素查找的实现, 如果发现递归结点已经为NULL，意识是查询失败，此二叉排序树当中不含有目标元素，此时查找目标赋值为待查找元素的父节点，同时返回查询失败标记false, false会在退栈过程中不断传递给当前的栈，最终查找函数返回false.

同时，如果当前结点的值和待查找的值相等，意味着本次查询成功，递归可以结束（不再入函数栈），同时返回查询成功的标记true，true会在退栈过程中不断传递给上一级函数栈，最终查找函数返回true。

typedef struct BiTNode
{
    SElemType data;
    struct BiTNode *lchild;
    struct BiTNode *rchild;
} BiTNode, *BiTree;


bool find_bst(BiTree T, KeyType key, BiTree parent, BiTree *target_ptr)
{
    if(T==NULL)
    {
        *target_ptr=parent;
        return false; //one of termination conditions, traveling with parent
    }
    else
    {
        //another condition of termination conditions
        //traveling with parent
        if(EQ(key,T->data.key)) 
        {
            *target_ptr=T;
            return true;
        }
        else if (LT(key, T->data.key))
        {
            return find_bst(T->lchild,key,T,target_ptr);
        }
        else
        {
            return find_bst(T->rchild,key,T,target_ptr);
        }
    }
}

2.2 插入和创建树操作

二叉排序树是一类动态表，其原因在于，如果树中不含有待插入元素，那么二叉排序树会执行插入操作，从而达到动态更新表的目的。插入和创建实际上可以共用一个过程，插入的过程也是创建树的过程。利用上面的查找函数，可以实现插入的过程。正如前面所述，插入过程需要先判断待插入元素是否在现有的表当中，如果不包含在目前的表当中，则需要执行插入操作，并返回插入成功的标记true，否则则直接返回未执行插入的标记false.

bool insert_bst(BiTree *bt, KeyType key)
{
    BiTree ptr;
    BiTree new_node;

    if(!find_bst(*bt,key,NULL,&ptr))
    {
        new_node=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        new_node->data.key=key;
        new_node->data.value=NULL;
        new_node->lchild=NULL;
        new_node->rchild=NULL;

        if(ptr==NULL) // don't leave this condition behind
        {
            *bt=new_node;
        }
        else if(LT(key,ptr->data.key))
        {
            ptr->lchild=new_node;
        }
        else
        {
            ptr->rchild=new_node;
        }

        return true;
    }

    return false;
}

2.3 二叉排序树删除操作

二叉排序树的结点删除分3种情况讨论，

a.) 若P为叶子结点，既PL和PR均为空树，由于删除叶子结点不破坏树的结点，只需要修改P结点的指针即可，也就是*p=NULL即可。

b.) 上述图，若 P结点只有左子树或只有右子树，此时只要令PL或PR称为父节点的左子树即可（也即是把指针赋值为结点P即可）

c.) 若P结点的左右子树均不为空，如果删除元素P后，需要保持二拆排序树仍然有序，那么就有两种途径，①-a途径，称之为替代法，用p元素的直接前驱元素S里面的值替代P里面的值，P的左右孩子指针保持不变，同时删除S结点，把S结点的左孩子赋值给其双亲结点的右孩子；②-b途径是利用待删除元素的左子树根节点来替代P所在结点，同时把P结点原有的右子树赋值给左子树的最右端元素。

两种类型不同在于①-a利用原有结点的左右孩子指针，只是替代元素；②-b则是直接修改替换原有结点，并更新现有结点的对应指针。

c) 删除的代码实现

二叉排序树的删除过程仍然采用递归函数，如果找到待删除元素，则执行删除操作，并返回删除成功标记，否则返回删除失败标记。

bool delete_bst(BiTree *T, KeyType key)
{
    //if deletion is succesfful, it will return true;
    //if deletion is not successful, it will return false
    if(*T==NULL)
    {
        return false;  // one termination condition
    }
    else
    {
        if(EQ(key,(*T)->data.key))
        {
            delete_action_b(T); //propagate the return value
            return true; //the second termination condition
        }
        else if (LT(key, (*T)->data.key))
        {
            return delete_bst(&((*T)->lchild),key);
        }
        else
        {
            return delete_bst(&((*T)->rchild), key);
        }
    }
}

分别用两个函数实现不同的删除模式，

//①-a implementation code
void delete_action_a(BiTree *node)
{
    //p;
    //s;
    //list three scenarios of node
    BiTree p;
    BiTree s;

    if((*node)->lchild==NULL)
    {
        p=*node;
        (*node)=(*node)->rchild;
        free(p);
    }
    else if ((*node)->rchild == NULL)
    {
        p = *node;
        (*node) = (*node)->lchild;
        free(p);
    }
    else
    {
        p= *node;
        s=(*node)->lchild; //next one
        while(s->rchild!=NULL)
        {
            p=s;
            s=s->rchild;
        }

        (*node)->data=s->data;

        if(p!=(*node))
        {
            p->rchild=s->lchild;
        }
        else
        {
            p->lchild=s->lchild; //no right child and jumpt one node
        }

        free(s);
    }

    return;
}

//②-b implementation code
void delete_action_b(BiTree *node)
{
    BiTree p;
    BiTree s;


    if ((*node)->lchild == NULL)
    {
        p = *node;
        (*node) = (*node)->rchild;
        free(p);
    }
    else if ((*node)->rchild == NULL)
    {
        p = *node;
        (*node) = (*node)->lchild;
        free(p);
    }
    else
    {
        p = *node;
        s = (*node)->lchild;
      

        while (s->rchild != NULL)
        {
            s = s->rchild;
        }

        s->rchild=(*node)->rchild; // 先后顺序非常重要
        (*node)=(*node)->lchild;  // 先后顺序非常重要

        free(p);
    }

    return;
}

3. 二叉查找树的形式

与静态二叉搜索树不同，静态二叉搜索树的形式是唯一的；对于相同的元素集合，二叉查找树的形式会随着不同的排列顺序呈现不同的树的形态。由于树的形态不同，造成树的深度不同，导致平均查找长度不同(Average Search Length)，如果输入有序元素，二叉查找树就退化为有序线性表，导致极端的情况发生。

这就为后面平衡二叉查找树的引入提供了应用场景，本文仅针对二叉排序树，不会对AVL树进一步阐述。

4. 小结

本文学习了二叉排序树的不同操作，包括插入、建树和删除等操作，同时阐述了不同形态的二叉查找树会影响查找效率，极端情况下，有序输入会导致二叉排序树蜕变为线性表，严重影查询效率。

参考资料：

《数据结构》严蔚敏，清华大学