微分中值定理—柯西中值定理

news2024/11/25 2:23:47

微分中值定理—柯西中值定理

前面我们已经学习了罗尔中值定理,和拉格朗日中值定理，它们的相同点是，研究的曲线都能用函数来表示。那假如曲线不能被函数表示呢，用柯西中值定理。

1 定义

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。如果，我们把研究对象扩展到两个函数，然后，将结论 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ ,再加上分母不为零的条件。那么拉格朗日中值定理，就成了我们的柯西中值定理如果函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 满足

那么 $\exists\xi\in (a,b)$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)=f'(\xi)$ 。如果此时还有 $g'(\xi)\ne 0$ ，那么该式可改写为：

$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

定义看完了，下面来看看它的几何意义

2 几何意义

要直观理解柯西中值定理，需要将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 组成参数方程组。为了符合习惯，这里的自变量用 $t$ 来表示，即假设有参数方程：

$\begin{cases}x=g(t)\\y=f(t)\end{cases}$

下面以 $g(t)$ 为横坐标, $f(t)$ 为纵坐标，建立坐标系。起点为 $t=a$ 时的位置 $[g(a),f(a)]$ ,终点为 $t=b$ 时的位置 $[g(b),f(b)]$ 。

连接起点与终点，做出一条割线,那么 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ 表示的就是割线的斜率。而 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ ,表示的是， $\xi$ 这个位置，切线的斜率。

这样柯西中值定理的结论就是,曲线上至少有一点，它的切线的斜率与割线斜率是相等的。从几何上来讲，也就是 $\xi$ 这个点的切线，与割线是平行的。

3 联系

前面说过，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，这在几何上就可以体现。比如下面这条蓝色曲线，因为它能用函数表示，且闭曲间连续，开区间可导。所以符合拉格朗日中值定理。

下面假设 $g(x)=x$ ,那么实际上，这条曲线也可以用参数方程来表示,因此，它也是符合柯西中值定理的。

还是这条曲线,固定起点不变,对终点进行拉伸,此时，这条曲线无法再用函数表示，也就不符合拉格朗日中值定理。

现在，我们将横坐标用 $g(x)$ 表示,纵坐标用 $f(x)$ 表示,那么，它符合的是柯西中值定理。

把两张图放在一起，可以很明显地看出，拉格朗日中值定理仅为 $g(x)=x$ 时的特殊情况。

4 证明

4.1 证明方法一

首先来看一个错误的证明方法:

由于 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上都满足拉格朗日中值定理的条件，故 $\exists\xi\in(a,b)$ ，使得:

如果有 $g(a)\ne g(b)$ 以及 $g'(\xi)\ne 0$ ，那么上述两式相除可得：

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$