一、图的定义
- 图G由顶点集V和边集E组成，记为G = （V, E），其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集；E(G)表示图G中顶点之间的关系（边）集合。若V = { v1,v2,...,vn }，则用 | V | 表示图G中顶点的个数，也称图G的阶，E = { (u,v) | u属于V,v属于V }，用 | E | 表示图G中的边的条数。
- 注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空，即V一定是非空集。
- 无向图：在图G中，若E是无向边（简称边）的有限集合时，则称为无向图。
- 补充：边是顶点的无序对，记为(v, w)或(w, v)，因为(v, w) = (w, v)，其中v, w是顶点。可以说顶点w和顶点v互为邻接点。边(v, w)依附于顶点w和顶点v，或者说边(v, w)和顶点v, w相关联。
例如图1中：
G1 = (V2, E2)
V1 = { A,B,C,D,E }
E1{ (A,B),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E) }- 有向图：在图G中，若E是有向边（也称弧）的有限集合时，则称为有向图。
- 补充：弧是顶点的有序对，记为<v, w>，其中v, w是顶点，v称为弧尾，w称为弧头，<v, w>称为顶点v到顶点w的弧，也称v邻接到w，或w邻接自v。
例如图2中：
G2 = (V1, E1)
V2 = { A,B,C,D,E }
E2= { <A,B>,<A,C>,<A,D>,<A,E>,<B,A>,<B,C>,<B,E>,<C,D> }- 简单图：1.不存在重复边。2.不存在顶点到自身的边。
- 多重图：1.图G中某两个结点之间的边数多于1条，又允许顶点通过同一条边和自己关联。
顶点的度、入度、出度
- 对于无向图：顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)
- 对于有向图：入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v) 出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v) 顶点v的度等于其入度和出度之和，即TD(v)=ID(v)+OD(v)
- 路径：在一个图G=(V,E)中，从顶点i到顶点j的一条路径是一个顶点序列(i,i1,i2,...,j)
- 路径长度：是指一条路径上经过的边的数目
- 回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环
- 简单路径：在路径序列中，顶点不重复出现的路径（即不含回路的路径）
- 简单回路：除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路
- 点到点的距离：从顶点u出发到顶点v的最短路径若存在，则此路径的长度称为从u到v的距离。若从u到v根本不存在路径，则记该距离为无穷。
子图：
- 设有两个图G=（V,E）和G1=（V1,E1），若V1是V的子集，即V1属于V，且E1是E的子集，即E1属于E，则称G1是G的子图。
- 生成子图：若有满足V(G1)=V(G),则称其为G的生成子图。
连通图（是对无向图而言）：
- 1.在无向图G中，若从顶点i到顶点j有路径，则称顶点i和顶点j是连通的。
- 2.如果对于图中任意两个顶点都连通，则称G是连通图，否则称为非连通图。 如果G是连通图，则最少有n-1条边； 如果G是非连通图，则最多可能有
；（比如一共有5个顶点，只需要拿出4个顶点并且从中任 意选取两个顶点。）
- 3.连通分量：无向图中的极大连通子图称为连通分量。 显然，连通图只有一个连通分量，就是它本身，而非连通图有多个连通分量
强连通图（是对有向图而言）：
- 1.若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图 注意：如果G是强连通图，则最少有n条边（形成回路）
- 2.强连通分量：有向图中的极大强连通子图。 显然，强连通图只有一个强连通分量，即本身。非强连通图有多个强连通分量
生成树：
- 连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图（极小是指在这个图里面的边的数量尽可能少）
- 若图中顶点数为n，则它的生成树含有n - 1条边。对于生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。
生成森林：
在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。
边的权、带权图/网、带权路径长度
- 边的权：在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，给数值称为该边的权值。
- 带权的图/网：边上带权值的图称为带权图，也称网。
- 带权路径长度：当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度
几种特殊形态的图
- 完全图：若图中每两个顶点之间都存在着一条边，则称该图为完全图。
- 无向完全图：无向图中任意两个顶点之间都存在边。
- 有向完全图：有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。
- 注意：完全有向图有n(n - 1)条边；完全无向图有n(n - 1) / 2条边。
- 稀疏图：边数很少的图
- 稠密图：当一个图接近完全图时，称为稠密图。
二、图的存储结构
- 基本的分为邻接矩阵和邻接表
邻接矩阵
- 邻接矩阵：是一种表示顶点之间邻接关系的矩阵
- 邻接矩阵是图的一种顺序存储结构，从邻接矩阵的行数或列数可知顶点数。
设G=(V,E)是具有n个顶点的不带权图，则G的邻接矩阵的具有如下定义的n阶方阵A
A[i][j]=1，表示有边(i,j)或者<i,j>
A[i][j]=0，表示没有边(i,j)（0<=i,j<=n-1）
A[i][i]=0，表示顶点i到自身没有边 
#define MaxVertexNum 100//顶点数目的最大值
#define INFINITY 100000//宏定义常量“无穷”
typedef char VertexType;//顶点的数据类型
typedef int EdgeType;//带权图中边上权值的数据类型
typedef struct
{
VertexType vexs[MaxVertexNum];//顶点表（存放顶点）
EdgeType edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum];//邻接矩阵,边表（存放任意两个顶点之间的距离）
int vexnum, edge;//图的当前顶点数和边数/弧数
}MGraph;邻接矩阵的性能分析
- 空间复杂度：只和顶点数相关，和实际的边数无关
- 适合用于存储稠密图
- 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，可以压缩存储（值存储上三角区/下三角区）
邻接表
- 邻接表是图的一种链表和顺序表相结合的存储结构
- 核心思想 : 对具有n个顶点的图建立n个线性链表存储该图
- 1.为每个顶点建立一个单链表，边结点由三个域组成，adjvex指示与顶点i邻接的顶点的编号，nextarc指向对应下一条边的节点，info存储与边相关的信息，如权值等。
- 2.表头节点有两个域组成，data存储顶点i对应的名称或其他信息，firstarc指向对应顶点i的链表中的第一个边节点。
typedef char ElemType;
typedef int InfoType;
#define MAXV 100
typedef struct ANode//边结点类型
{
int adjvex;//该边的终点位置
struct ANode* nextarc;//指向一下条边的指针
InfoType info;//该边的相关信息，如带权图可存放权重
}ArcNode;
typedef struct Vode//表头结点的类型
{
ElemType data;//顶点信息
ArcNode* firstarc;//指向第一条边
}VNode;
typedef VNode AdjList[MAXV]; //AdjList是邻接表类型
typedef struct
{
AdjList adjlist;//邻接表（表头结点组成一个数组）
int n, e;//定义顶点数和边数
}AGraph;//图的领接表类型
