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🌈座右铭：广积粮，缓称王！
一.算法的复杂度
- 算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
- 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
二.时间复杂度的概念
- 时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个
- 分析方式：一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
- 即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
三.大O的渐进表示法
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
四.常见时间复杂度计算举例
1.例一（单循环的时间复杂度）
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
答案：O(N)
解析：F(N)=2*N+10，根据第三大点的二三小点可知需要将N前的系数和后面的常数去除，即时间复杂度为O(N)
2.例二（循环嵌套的时间复杂度）
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
答案：O(M+N)
解析：第一个循环执行了M次，第二个循环执行了N次，因此时间复杂度为O(M+N)
3.例三（循环次数为常数的时间复杂度）
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
答案：O(1)
解析：执行的次数是个常数，无论这个常数有多大，时间复杂度都是O(1)
4.例四（冒泡排序的时间复杂度）
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
答案：O(N^2)
解析：
5.例五（二分查找的时间复杂度）
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid-1;
else
return mid;
}
return -1;
}
答案：O(logN),logN表示底数为2，对数为N
解析：
6.例六（普通递归的时间复杂度）
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
答案：O(N)
解析：
每递归一次，时间复杂度加1，一共递归N次，即时间复杂度为O(N)
7.例七（斐波那契数的时间复杂度）
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
答案：O(2^N)
解析：
每次递归都会是原来的两倍（最后几次除外，最后几次会变成Fib(2)和Fib(1)这两个不会再分裂，但因为时间复杂度是最坏的情况，因此加上这部分并没有太大影响。
最后
遇到无法一眼看出的可以尝试画图，例如最后一个求斐波那契数列的时间复杂度，用肉眼很难看出，但画出图之后就较为简单。
