【动态规划】多重背包问题，分组背包问题

news2024/12/28 4:23:27

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题目:多重背包问题

题解:

代码实现:

优化：

代码实现:

题目:分组背包问题

题解：

代码实现:

完结撒花：

题目:多重背包问题

题解:

与完全背包问题不同的是，每种东西都是有限件，前两种状态就不再过多赘述，有疑问的uu们可以去看看这篇文章完全背包，第三种状态我们直接枚举即可：当能拿下k个物品时，与不拿k件物品去最大值。

代码实现:

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1100;
int v[N],s[N],w[N],f[N][N];

int main()
{
    int n=0,V=0;
    cin>>n>>V;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=V;j++)
        {
            for(int k=0;k*v[i]<=j&&k<=s[i];k++)
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+w[i]*k);
        }
    }
    cout<<f[n][V];
}

优化：

这种做法虽然简单易懂，但时间复杂度为n^3，很容易就TLE了，所以我们必须优化一下。

这里有利用了一下快速幂（背增）的思想，不知道的uu们听我细说：

任何一个正整数都可以由二进制来表示（废话，那么我们要取得价值是不是也可以由二进制表示呢？

例如我们有 1 2 4价值得东西，那我们就可以由这三个东西凑出0~7之间任何一个数

（由3个物品的表示凑出了7个情况），效率就高了

假设我们要凑0~9的任何一个数呢，那么1 2 4就无法表示了，我们可以给这区间加上一个2，是不是就可以表示0~9之间的任何一个情况了呢。

换到这题来看，数量为s的物品可以拆分为log s 个东西，就可以枚举出s个物品的情况，对应的价值乘上倍数k即可满足上面所说情况，所以对应的问题就变成了01背包问题

代码实现:

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=110000000;
int v[N],s[N],w[N],f[N][N];

int solution2()
{
    int n=0,V=0;
    cin>>n>>V;
    int cnt=0;
    int k=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a=0,b=0,s=0;
        cin>>a>>b>>s;
        int k=1;
        while(k<=s)
        {
            v[++cnt]=a*k;
            w[cnt]=b*k;   
            s-=k;
            k*=2;
        }
        if(s>0)
        {
            v[++cnt]=s*a;
            w[cnt]=s*b;
        }
    }
    n=cnt;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=V;j>=v[i];j--)
        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
    cout<<f[V];
}

题目:分组背包问题

题解：

这题与完全背包问题也十分的相似，就是将一件物品无限拿，变成了一组物品挑一个。

代码实现:

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=110;
int v[N][N],w[N][N],s[N],f[N];
int main()
{
    int n=0,m=0;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>s[i];
        for(int j=0;j<s[i];j++)
        {
            cin>>v[i][j];
            cin>>w[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=0;j--)
        {
            for(int k=0;k<s[i];k++)
            {
                if(j>=v[i][k])f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
            }
        }
    }
    cout<<f[m];
}