导数与微分

导数用来研究函数在某一点的变化率。微分用来表示函数改变量的近似值。

概念

• 导数：设函数$y=f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，如果极限$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$存在，则称$f(x)$在点$x_0$处可导，并称此极限值为$f(x)$在点$x_0$处的导数，记为$f^{\prime }(x_0)$或$y^{\prime }{|}_{x=x_0}$或$\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}$。如果上述极限不存在，则称$f(x)$在点$x_0$处不可导。

• 左导数：设函数$y=f(x)$在$x_0$及其某个左邻域内有定义，如果左极限$$\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$存在，则称此极限值为$f(x)$在点$x_0$处的左导数，记为$f_{-}^{\prime }(x_0)$。

• 右导数：设函数$y=f(x)$在$x_0$及其某个右邻域内有定义，如果右极限$$\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$存在，则称此极限值为$f(x)$在点$x_0$处的右导数，记为$f_{+}^{\prime }(x_0)$。

• 函数$f(x)$在点$x_0$处可导的充要条件：$f(x)$在点$x_0$处的左导数和右导数都存在且相等。

• 区间可导：若$f(x)$在区间$(a，b)$内每点都可导，则称$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，如果$f(x)$在$x=a$处有右导数，在$x=b$处有左导数，则称$f(x)$在$[a,b]$上可导。

• 导函数：如果$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，此时对于$(a,b)$内的每一点$x$都对应一个导数值$f^{\prime }(x)$，常称$f^{\prime }(x)$为$f(x)$在$(a,b)$内的导函数。

• 微分：设函数$y=f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，如果函数的增量$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$可以表示为$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(\Delta x\to 0)$$其中A为不依赖于$\Delta x$的常数，则称$f(x)$在点$x_0$处可微，称$A\Delta x$为函数$f(x)$在点$x_0$处相应于自变增量$\Delta x$的微分，记为$dy=A\Delta x$。函数$y=f(x)$在$x_0$处可微的充要条件是$f(x)$在点$x_0$处可导，且有$$dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=f^{\prime }(x_0)dx$$在点$x$处，长记$dy=f^{\prime }(x)dx$。

几何意义

• 导数的几何意义：导数$f^{\prime }(x)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率，如果函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，则曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处必有切线，其切线方程为$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$如果$f^{\prime }(x_0)\ne 0$，则曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的法线方程为$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$$如果$f^{\prime }(x_0)=0$，则曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线方程为$$y=f(x_0)$$即曲线在点$(x_0,f(x_0))$处有水平切线。
• 微分的几何意义：微分$dy=f^{\prime }(x_0)dx$在几何上表示曲线$y=f(x)$的切线上的增量，$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$上的增量，当$\Delta x\to 0$时，$\Delta y\approx dy$。

连续、可导、可微之间的关系

• 连续不一定可导，可导一定连续；
• 连续不一定可微，可微一定连续；
• 可导一定可微，可微一定可导；

求导法则

基本初等函数的导数公式

• $(C{)}^{\prime }=0$
• $(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$
• $(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna$
• $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
• $(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna}$
• $(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
• $(sinx{)}^{\prime }=cosx$
• $(cosx{)}^{\prime }=-sinx$
• $(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x$
• $(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x$
• $(secx{)}^{\prime }=secxtanx$
• $(cscx{)}^{\prime }=-cscxcotx$
• $(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
• $(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

有理运算法则

• $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
• $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
• $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^{\prime }}(v\ne 0)$

复合函数求导法

设$u=\phi (x),y=f(u)$可导，则$y=f[\phi (x)]$在x处可导，且$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=f^{\prime }(u){\phi }^{\prime }(x)$。

奇偶性和周期性

• $若f(x)是奇函数，则f^{\prime }(x)是偶函数$
• $若f(x)是偶函数，则f^{\prime }(x)是奇函数$
• $若f(x)是周期函数，则f^{\prime }(x)是周期函数$

隐函数求导

设$y=f(x)$是由方程$F(x,y)=0$所确定的可导函数，为求得$y^{\prime }$，可在方程$F(x,y)=0$两边对x求导，可以得到一个含有$y^{\prime }$的方程，解出$y^{\prime }$即可。

反函数求导

若$y=f(x)$在某区间内可导，且$f^{\prime }(x)\ne 0$，则其反函数$x=\phi (y)$在对应区间内也可导，且${\phi }^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$，即$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$。

参数方程求导

设$y=f(x)$是由参方程$\{\begin{array}{l}x=\phi (x),\\ y=\psi (x)\end{array}(\alpha <t<\beta )$确定的函数，则：

• 若$\phi (x)$和$\psi (x)$都可导，且${\phi }^{\prime }(x)\ne 0$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{{\phi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}$。
• 若$\phi (x)$和$\psi (x)$二阶可导，且${\phi }^{\prime }(x)\ne 0$，则$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}(\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)})\times \frac{1}{\phi {(}^{\prime }t)}=\frac{{\varphi }^{\prime \prime }(x){\phi }^{\prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\varphi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime 3}(x)}$。

对数求导法

如果$y=f(x)$的表达式由多个因式的乘除、幂等构成，或是幂指函数的形式，则可先将函数取对数，然后两边对x求导。

高阶导数

概念

如果$y=f^{\prime }(x)$作为$x$的函数在点$x$可导，则称$y^{\prime }$的导数为$y=f(x)$的二阶导数，记为$y^{\prime \prime }$，或$f^{\prime \prime }(x)$，或$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。一般的，函数$y=f(x)$的n阶导数为$y^{(n)}=[f^{(n-1)}(x)]$，即$n$阶导数就是$n-1$阶导函数的导数。

常用的高阶导数公式

• $(sinx{)}^{(n)}=sin(x+n\times \frac{\pi }{2})$
• $(cosx{)}^{(n)}=cos(x+n\times \frac{\pi }{2})$
• $(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(}n)\pm v^{(n)}$
• $(uv{)}^{(n)}=$${\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}$

微分中值定理和导数的应用

微分中值定理用于建立函数和导数的联系。

微分中值定理

函数和$1$阶导数的关系：

• 费马引理：设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值，那么$f^{\prime }(x_0)=0$。
• 罗尔定理：如果$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，$f(a)=f(b)$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使$f^{\prime }(\xi )=0$。
• 拉格朗日中值定理：如果$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$。
• 柯西中值定理：如果$f(x),F(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$F^{\prime }(x)$在$(a,b)$内每一点处均不为零，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$。

函数和$n$阶导数的关系：

• 皮亚诺型余项泰勒公式（局部泰勒公式，在$x_0$临近处代替误差小）：如果$f(x)$在$x_0$处有$n$阶导数，则$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+...+\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_n)(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$常称$R_n(x)=o[(x-x_0{)}^n](x\to x_0)$为皮亚诺型余项，若$x_0=0$，则得麦克劳林公式：$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)x^2+...+\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n+o(x^n)$$
• 拉格朗日型余项泰勒公式（整体泰勒公式，在一个大的范围内代替误差小）：设函数$f(x)$在含有$x_0$的开区间$(a,b)$内有$n+1$阶导数，则当$x\in (a,b)$时有$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+...+\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_n)(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$其中$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}(\xi 介于x_0与x之间)$，称为拉格朗日余项。

几个常用的泰勒公式如下：

• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$
• $sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots +(-1{)}^{n-1}+\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1})$
• $cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots +(-1{)}^n+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$
• $ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
• $(1+x{)}^n=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

导数的应用

函数的单调性

设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导：

• 若在$(a,b)$内$f^{\prime }(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调增。
• 若在$(a,b)$内$f^{\prime }(x)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调减。

函数的极值

设$f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，如果对于该邻域（端点是半邻域）内任何$x$，恒有$f(x)\le f(x_0)$，则称$x_0$为$f(x)$的一个极大值点，称$f(x_0)$为$f(x)$的极大值，极大值极小值统称为极值，极大值极小值点统称为极值点。

• 极值的必要条件：设$f(x)$在点$x_0$处可导，如果点$x_0$为$f(x)$的极值点，则$f^{\prime }(x_0)=0$。导数为零的点称为函数的驻点。
• 极值的第一充分条件：设$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内可导，且$f^{\prime }(x_0)=0$或$f(x)$在$x_0$处连续：
  • 若$x<x_0$时，$f^{\prime }(x)>0,x>x_0$时，$f^{\prime }(x)<0$，则$x_0$为$f(x)$的极大值点；
  • 若$x<x_0$时，$f^{\prime }(x)<0,x>x_0$时，$f^{\prime }(x)>0$，则$x_0$为$f(x)$的极小值点；
  • 若$f^{\prime }(x)$在$x_0$的两侧同号，则$x_0$不为$f(x)$的极值点。
• 极值的第二充分条件：设$f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且$f^{\prime }(x_0)=0$：
  • 若$f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则$x_0$为$f(x)$的极大值点；
  • 若$f^{\prime \prime }(x_0)>0$，则$x_0$为$f(x)$的极小值点；
  • 若$f^{\prime \prime }(x)=0$，则此方法不能判定$x_0$是否为极值点。

函数的最大值和最小值

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有定义，$x_0\in [a,b]$，若对于任意$x\in [a,b]$，恒有$f(x)\le f(x_0)$，则称$f(x_0)$为函数的$f(x)$在区间$[a,b]$最大值，称$x_0$为$f(x)$在区间$[a,b]$上的最大值点。

曲线的凹凸性

设函数$f(x)$在区间$I$上连续，如果对$I$上任意两点$x_1,x_2$恒有$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在$I$上的图形是凹的；如果恒有$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在$I$上的图形是凸的；

• 拐点：连续曲线上的凹与凸的分界点称为曲线弧的拐点。
• 拐点的必要条件：设函数$f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且点$(x_0,f(x_0))$为曲线$f(x)$的拐点，则$f^{\prime \prime }(x_0)=0$。
• 拐点的第一充分条件：设$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内二阶可导，且$f^{\prime \prime }(x_0)=0$或$f(x)$在$x_0$处连续：
  • 若$f^{\prime \prime }(x)$在$x_0$的两侧异号，则点$(x_0,f(x_0))$为曲线$f(x)$的拐点。
  • 若$f^{\prime \prime }(x)$在$x_0$的两侧同号，则点$(x_0,f(x_0))$不为曲线$f(x)$的拐点。
• 拐点的第二充分条件：设$f(x)$在点$x_0$处三阶可导，且$f^{\prime \prime }(x_0)=0$：
  • 若$f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$，则点$(x_0,f(x_0))$为曲线$f(x)$的拐点。
  • 若$f^{\prime \prime \prime }(x_0)=0$，则此方法不能判定点$(x_0,f(x_0))$是否为曲线$f(x)$的拐点。

曲线的渐近线

若点M沿曲线$f(x)$无限远离原点时，它与某条定直线L之间的距离将趋近于零，则 称直线L为曲线$f(x)$的一条渐近线，若直线L与x轴平行，则称L为曲线$y=f(x)$的水平渐近线；若直线L与x轴垂直，则称L为曲线$y=f(x)$的垂直渐近线；若直线L既不平行于x轴，也不垂直于x轴，则称L为$f(x)$的斜渐近线。

• 水平渐近线：若$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$或$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A$或$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A$，那么$y=A$是曲线$y=f(x)$的水平渐近线。
• 垂直渐近线：若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$或$\underset{x\to -x_0^{-}}{\lim }f(x)=\infty$或$\underset{x\to +x_0^{+}}{\lim }f(x)=\infty$，那么$x=x_0$是曲线$y=f(x)$的垂直渐近线。
• 斜渐近线：若$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a$且$\underset{x\to \infty }{\lim }(f(x)-ax)=b(或x\to -\infty 或x\to +\infty )$，那么$y=ax+b$是曲线$y=f(x)$的斜渐近线。

曲线的弧微分和曲率

• 弧微分：设函数$f(x)$在$(a,b)$内有连续导数，则有弧微分$ds=\sqrt{1+y^{{}^{\prime }2}}dx$。
• 曲率：设函数$f(x)$有二阶导数，则有曲率$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{{}^{\prime }2}{)}^{3/2}}$，称$p=\frac{1}{K}$为曲率半径。
• 曲率圆：若曲线$f(x)$在点$M(x,y)$处的曲率为$K(K\ne 0)$，在点M处曲线的法线上，在曲线凹的一侧取一点D，使$|DM|=\frac{1}{K}=p$，以D为圆心，以p为半径的圆称为曲线在点M处的曲率圆，圆心D为曲线在点M处的曲率中心。