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5.1 子空间

5.1.1. 定义

设 $W\subset C^n$ ，即子空间对线性组合封闭

$$\begin{array}{rl}若& (1)对\forall \alpha ,\beta \in W，有\alpha +\beta \in W(对加法封闭)\\ & (2)对\forall \alpha \in W,\forall k\in C，有k\alpha \in W(对数乘封闭)\end{array}$$

• 子空间 W 一定含有零向量 $\vec{0}\in W$；若不包含零向量，则不是子空间

• 齐次方程解集 W ( A ) = { X ∈ C n ∣ A X = 0 } W(A)=\{X\in C^n\vert AX=0\} W(A)={X∈Cn∣AX=0} ，对加法，数乘封闭($A{X}_1=0,A{X}_2=0,A(X_1+X_2)=0$)，($A{X}_1=0$,$A(k{X}_1)=k(A{X}_1)=0$) ，且有零向量

• 非齐次方程解集 W ( A ) = { X ∈ C n ∣ A X = b ≠ 0 } W(A)=\{X\in C^n\vert AX=b\neq 0\} W(A)={X∈Cn∣AX=b​=0} 不含零向量，故W(A) 不是子空间，且对加法，数乘不封闭

5.1.2 生成子空间

a. 引理

由 $C^n$ 中向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2\cdots ,{\alpha }_m$ 的所有线性组合生成的向量集合 W ( A ) = { x = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m } W(A)=\{x=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m\} W(A)={x=k1​α1​+k2​α2​+⋯+km​αm​} 是一个子空间，称W为由${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$ 生成的子空间，记为 $W=L({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)$ 或 $W=span({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)$

5.1.3 基定义

$$\begin{array}{rl}若& (1)子空间W中有r个向量{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r线性无关\\ & (2)W中任一向量\alpha 可由{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r表示：\alpha =k_1{\alpha }_1+\cdots +k_r{\alpha }_r\\ 则& 称[{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r]为W的一个基，r为W的维数，记作dimW=r\end{array}$$

空间W可由基 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r$ 生成，即 $W=L({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r)$ 或 $W=span({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r)$

a. 基性质

• 设 W 是r维子空间 ($dimW=r$) ，则W中任 r+1 个向量必线性相关
  证 明 ： 设 W 的 基 为 α 1 , ⋯   , α r ， 任 取 β 1 , ⋯   , β r , β r + 1 ∈ W ， 可 知 每 个 β 可 有 α 基 向 量 表 示 ， 即 向 量 组 { β 1 , ⋯   , β r } 的 秩 ≤ r ( α q , ⋯   , α r ) = r ≤ r + 1 ， 故 { β } 向 量 组 线 性 相 关 \begin{aligned} 证明：&设W的基为 \alpha_1,\cdots,\alpha_r，任取\beta_1,\cdots,\beta_r,\beta_{r+1} \in W，可知每个\beta 可有\alpha 基向量表示，即\\ &向量组\{\beta_1,\cdots,\beta_r\}的秩\le r(\alpha_q,\cdots,\alpha_r) =r\le r+1，故\{\beta\}向量组线性相关 \end{aligned} 证明：​设W的基为α1​,⋯,αr​，任取β1​,⋯,βr​,βr+1​∈W，可知每个β可有α基向量表示，即向量组{β1​,⋯,βr​}的秩≤r(αq​,⋯,αr​)=r≤r+1，故{β}向量组线性相关​

• W的基 $[{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r]$ 必是向量组W的一个极大无关组，从而 $dimW=r(W)$

5.1.4 A产生的子空间

a. 列空间（值域）

$A=A_{m,n}$ 的值域 R ( A ) = { 全 体 y = A x ∣ x ∈ C n } R(A)=\{全体y=Ax\vert x\in C^n\} R(A)={全体y=Ax∣x∈Cn}
$$\begin{array}{rl}& A=A_{m,n}=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n),其中{\alpha }_i\in C^m，X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\in C^n\\ & Y=AX=x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n=\left(x_1{\alpha }_1,\cdots ,x_n{\alpha }_n\right)为A的生成列空间\end{array}$$
即对 $C^n$ 中的所有列向量进行A变换产生的列生成空间，记为 R ( A ) = { y = x 1 α 1 + ⋯ + x n α n ∣ X ∈ C n } R(A)=\{y=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n\vert X\in C^n\} R(A)={y=x1​α1​+⋯+xn​αn​∣X∈Cn}

$R(A)=L({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ 或 $R(A)=span({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$

维数=秩， $dimR(A)=r(A)=r$

b. A的核空间

$A=A_{m,n}$ 的核空间为 N ( A ) = { x ∈ C n ∣ A x = 0 } ⊂ C n N(A)=\{x\in C^n\vert Ax=0\}\subset C^n N(A)={x∈Cn∣Ax=0}⊂Cn （解空间）

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维数公式

$dimN(A)+dimR(A)=n$ 或 $dimN(A)+r(A)=n$ ，即 $dimN(A)=n-r(A)$

5.1.5 正交引理

a. $C^m$ 中正交引理(列空间中向量的正交向量)

任取 $b\in C^m$ ，令 $x_0=A^{+}b\in C^n$ ，则 $(b-A{x}_0)\perp Ax,\forall x\in C^n$

正交子空间

设 $A\in C^{m\times n}$ ，则有 $N(A)\perp R(A^H)$ ，且 $N(A^H)\perp R(A)$

证明：
$$\begin{array}{rl}& 任取y\in N(A),即满足Ay=0。任取A^{H}x\in R(A^H),若证N(A)\perp R(A^H)，则只需证(y,A^{H}x)=0,\\ & \because (y,A^{H}x)=(A^{H}x{)}^{H}y=x^{H}Ay=X^H(Ay)=X^{H}0=0，即有N(A)\perp R(A^H)\end{array}$$

b. $C^n$ 中正交引理(核空间的正交向量)

任取 $b\in C^m$ ，令 $x_0=A^{+}b\in C^n$ ，则 $x_0\perp N(A)$ ，即 x 0 ⊥ y , y ∈ { y ∣ A y = 0 } x_0\bot y ,y\in \{y\vert Ay=0\} x0​⊥y,y∈{y∣Ay=0}

证明：
$$\begin{array}{rl}& 由于y在A的解空间，则已知Ay=0,要证x_0\perp y,即证内积(y,x_0)=0\\ & (y,x_0)=x_0^{H}y=(A^{+}b{)}^{H}y=(A^{+}A{A}^{+}b{)}^{H}y=(A^{+}b{)}^H(A^{+}A{)}^{H}y=(A^{+}b{)}^H{A}^{+}Ay=0\\ & \Rightarrow x_0\perp y,即x_0\perp N(A)\end{array}$$

$x_0=A^{+}b$ 为 $Ax=b$ 的最小解

$$\begin{array}{rl}& 令x_0=A^{+}b，\forall x\in N(A),Ay=b有通解y=x_0+tx,而|y{|}^2=|x_0+x{|}^2\\ & \because x_0\perp x,由勾股定理\Rightarrow |x_0+x{|}^2=|x_0{|}^2+|x{|}^2\ge |x_0{|}^2\end{array}$$