前言

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变分推断

在贝叶斯方法中，针对含有隐变量的学习和推理，通常有两类方式，其一是马尔可夫链蒙特卡罗法 (MCMC)，其通过采样来近似估计后验概率分布；其二是变分推断，通过解析的方法近似计算后验概率分布。

假设联合概率分布 $p(x,z)$，其中 $x$ 是观测变量，即数据，$z$ 是隐变量，目标是学习后验概率分布 $p(z\mid x)$。

由于 $p(z\mid x)$ 通常非常复杂，难以直接求解，因此变分推断使用分布 $q(z)$ 来近似 $p(z\mid x)$，并通过限制 $q(z)$ 形式，得到一种局部最优、但具有确定解的近似后验分布。其中 $q(z)$ 即为变分分布 (variational distribution)，$q(z)$ 与 $p(z\mid x)$ 之间的相似度通过 $\text{KL}$ 散度衡量。

如下图所示，我们希望在集合 $\mathcal{Q}$ 中找到 $q^{\ast }(z)$ 使其与 $p(z\mid x)$ 之间的 $\text{KL}$ 散度尽可能小。

基于上述想法，对 $\text{KL}(q(z)\Vert p(z\mid x))$ 进行拆解：
$$\begin{array}{rl}\text{KL}(q(z)\Vert p(z\mid x))& =\int q(z)\log q(z)\text{d}z-\int q(z)\log p(z\mid x)\text{d}z\\ & =\log p(x)-\left\{\int q(z)\log p(x,z)\text{d}z-\int q(z)\log q(z)\text{d}z\right\}\\ & =\log p(x)-{\mathbb{E}}_q\left[\log p(x,z)-\log q(z)\right].\end{array}$$

由于 $\text{KL}$ 散度非负，因此：
$$\log p(x)\ge {\mathbb{E}}_q\left[\log p(x,z)-\log q(z)\right].$$

不等式左端为证据 (Evidence)，右端则为证据下界 (Evidence Lower Bound, $\text{ELBO}$)，记作 $L(q)$（ELBO 经常出现于各类与贝叶斯有关的文章中）。

我们的目的是求解 $q(z)$ 来最小化 $\text{KL}(q(z)\Vert p(z\mid x))$，由于 $\log p(x)$ 是常量，问题转化为最大化 $\text{ELBO}$ $L(q)$.

若 $q(z)$ 形式过于复杂，最大化 $\text{ELBO}$ 依然难以求解，因此通常会对 $q(z)$ 形式进行约束，一种常见的方式是假设 $z$ 服从分布
$$q(z)=\prod _i{q}_i(z_i),$$

即 $z$ 可拆解为一系列相互独立的 $z_i$，此时的变分分布称为平均场 (Mean Filed).

总结一下，变分推断常见步骤如下：

• 定义变分分布 $q(z)$；
• 推导证据下界 $\text{ELBO}$ 表达式；
• 最大化 $\text{ELBO}$，得到 $q^{\ast }(z)$，作为后验概率分布 $p(z\mid x)$ 的近似。

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广义 EM

上述变分推断过程可以与「广义 EM」联系起来，由于 $\log p(x)\ge \text{ELBO}$ 恒成立，若将模型参数 $\theta$ 引入其中，即可得到：

$$\log p(x\mid \theta )\ge {\mathbb{E}}_q\left[\log p(x,z\mid \theta )-\log q(z)\right],$$

此时有两种理解：

• 用分布 $q(z)$ 近似联合概率分布 $p(x,z\mid \theta )$，最小化分布距离 $\text{KL}(q\Vert p)$；
• 采用极大似然估计的思想，最大化对数似然函数 $\log p(x\mid \theta )$（也可以理解为最大化证据）。

虽然两种视角不同，但结论一致，即最大化 $\text{ELBO}$，记作 $L(q,\theta )$。对应于广义 EM 算法，即采用迭代的方式，循环执行 E 步和 M 步，直至收敛：

• 【E 步】固定 $\theta$，求 $L(q,\theta )$ 对 $q$ 的最大化；
• 【M 步】固定 $q$，求 $L(q,\theta )$ 对 $\theta$ 的最大化。

上述迭代可以保证 $\log p(x\mid {\theta }^{(t)})$ 不降，即一定会收敛，但可能会收敛到局部最优：
$$\log p(x\mid {\theta }^{(t-1)})=L(q^{(t)},{\theta }^{(t-1)})\le L(q^{(t)},{\theta }^{(t)})\le \log p(x\mid {\theta }^{(t)})$$

其中「左边第一个等号」由变分推断原理 + E 步得到，「左边第一个不等号」由 M 步得到，「左边第二个不等号」由变分推断原理得到。

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参考资料

• 周志华. (2016). 机器学习. 清华大学出版社, 北京.
• 李航. (2019). 统计学习方法. 清华大学出版社, 第 2 版, 北京.