感知机

输入空间：$\mathcal{X}\subseteq {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ ；输入：$x={\left(x^{(1)},x^{(2)},\cdot \cdot \cdot ,x^{(n)}\right)}^T\in \mathcal{X}$

输出空间： Y = { + 1 , − 1 } {\mathcal Y}=\{+1,-1\} Y={+1,−1} ；输出： $y\in \mathcal{Y}$

感知机：
$$f(x)=\mathrm{sign}(w\cdot x+b)=\{\begin{array}{ll}+1,& w\cdot x+b\ge 0\\ -1,& w\cdot x+b<0\end{array}$$
其中，$w={\left(w^{(1)},w^{(2)},\cdot \cdot \cdot ,w^{(n)}\right)}^T\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ （Weight）， $b\in \mathbf{R}$ 称为偏置（Bias）， $w\cdot x$ 表示内积
$$w\cdot x=w^{(1)}{x}^{(1)}+w^{(2)}{x}^{(2)}+\cdots +w^{(n)}{x}^{(n)}$$
假设空间： F = { f ∣    f ( x ) = w ⋅ x + b } {\mathcal{F}}=\{{\mathcal{f}}|\;{\mathcal{f}}(x)=w\cdot x+b\} F={f∣f(x)=w⋅x+b}

几何含义

线性方程：
$$w\cdot x+b=0$$
特征空间 ${\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ 中的一个超平面： $\mathrm{S}$ ；法向量：$w$ ；截距： $b$

条件

数据集的线性可分性：

给定数据集：
$$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\cdot \cdot \cdot \cdot ,(x_N,y_N)\}$$
若存在某个超平面 $\mathrm{S}$ ：
$$w\cdot x+b=0$$
能够将数据集的正负实例点完全正确的划分到超平面两侧，即：
$$\{\begin{array}{ll}{y}_i=+1,& w\cdot x_i+b>0\\ y_i=-1,& w\cdot x_i+b<0\end{array}$$
那么，称 $T$ 为线性可分数据集；否则，称 $T$ 为线性不可分。

$\forall x_0\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ 到 $\mathrm{S}$ 的距离：
$$\frac{1}{\Vert w\Vert }\left|w\cdot x_0+b\right|$$
这里，$\Vert w\Vert$ 是 $w$ 的 $L_2$ 范数。

• 若 $x_0$ 是正确分类点，则：

$$\frac{1}{\Vert w\Vert }\left|w\cdot x_0+b\right|=\{\begin{array}{rl}\frac{w\cdot x_0+b}{\Vert w\Vert },& y_0=+1\\ -\frac{w\cdot x_0+b}{\Vert w\Vert },& y_0=-1\end{array}$$

• 若 $x_0$ 是错误分类点，则：

$$\frac{1}{\Vert w\Vert }\left|w\cdot x_0+b\right|=\{\begin{array}{cc}-\frac{w\cdot x_0+b}{\Vert w\Vert },& y_0=+1\\ \frac{w\cdot x_0+b}{\Vert w\Vert },& y_0=-1\end{array}=\frac{-y_0\left(w\cdot x_0+b\right)}{\Vert w\Vert }$$

误分类点 $x_i$ 到 $\mathrm{S}$ 的距离：
$$

• \frac{1}{|w|}\left|w \cdot x_0+b\right|
  KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 10: 所有误分类点到 $̲\rm S$ 的距离：
  -\frac{1}{|w|} \sum_{x_i \in M} y_i\left(w \cdot x_i+b\right)
  $$
  其中， $M$ 代表所有误分类点的集合。

损失函数：
$$L(w,b)=-\sum _{x_i\in M}{y}_i(w\cdot x_i+b)$$

模型参数估计：
$$\underset{w,b}{\mathrm{argmin}}L(w,b)$$

梯度下降法

梯度：指某一函数在该点处最大的方向导数，沿着该方向可取得最大的变化率。
$$\nabla =\frac{\partial f(\theta )}{\partial \theta }$$
若 $f(\theta )$ 是凸函数，可通过梯度下降法进行优化：
$${\theta }^{(k+1)}={\theta }^{(k)}-\eta \nabla F({\theta }^{(k)})$$
$\eta$ 表示步长，在统计学中表示学习率。

输入：目标函数 $f(\theta )$ ，步长 $\eta$ ，计算精度 $\epsilon $ ；

输出：$f(\theta )$ 的极小值点 ${\theta }^{\ast }$ 。

• 选取初始值 ${\theta }^{(0)}\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ ，置 $k=0$ 。
• 计算 $f({\theta }^{(k)})$ 。
• 计算梯度 $\nabla f({\theta }^{(k)})$ 。
• 置 ${\theta }^{(k+1)}={\theta }^{(k)}-\eta \nabla F({\theta }^{(k)})$ ，计算 $f({\theta }^{(k+1)})$ ，当 $||f({\theta }^{(k+1)})-f({\theta }^{(k)})||<ϵ$ 或者 $||{\theta }^{(k+1)}-{\theta }^{(k)}||<ϵ$ 时，停止迭代，令 ${\theta }^{\ast }={\theta }^{(k+1)}$ 。
• 否则，置 $k=k+1$ ，转到第三步。

感知机的原始形式（随机梯度下降法）

损失函数：
$$L(w,b)=-\sum _{x_i\in M}{y}_i(w\cdot x_i+b)$$
梯度：
$${\nabla }_{w}L(w,b)=-\sum _{x_i\in M}{y}_i{x}_i;{\nabla }_{b}L(w,b)=-\sum _{x_i\in M}{y}_i$$
梯度下降：
$${\theta }^{(k+1)}={\theta }^{(k)}-\eta \nabla F({\theta }^{(k)})$$
参数更新：

• 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）：每次迭代时使用所有误分类点来进行参数更新。
  $$w\leftarrow w+\eta \sum _{x_i\in M}{y}_i{x}_i;b\leftarrow b+\eta \sum _{x_i\in M}{y}_i$$
  其中，$\eta (0<\eta \le 1)$ 代表步长。

• 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）：每次随机选取一个误分类点。

$$w\leftarrow w+\eta y_i{x}_i;b\leftarrow b+\eta y_i$$

算法：
输入：训练集：
$$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\cdot \cdot \cdot \cdot ,(x_N,y_N)\}$$
​ 其中， $x_i\in \mathcal{X}\subseteq {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ ， $y\in \mathcal{Y}=+1,-1$ ；步长 $\eta (0<\eta \le 1)$

输出：$w,b$ ；感知机模型 $f(x)=\mathrm{sign}(w\cdot x+b)$

• 选取初始值 $w_0,b_0$ ；
• 于训练集中随机选取数据 $(x_i,y_i)$ ；
• 若 $y_i(w\cdot x_i+b)\le 0$ ：

$$w\leftarrow w+\eta y_i{x}_i;b\leftarrow b+\eta y_i$$

感知机的对偶形式

在原始形式中，若 $(x_i,y_i)$ 为误分类点，更新参数：
$$w\leftarrow w+\eta y_i{x}_i;b\leftarrow b+\eta y_i$$
假设初始值 $w_0=0,b_0=0$ ，对误分类点 $(x_i,y_i)$ 通过上述公式更新参数，修改 $n_i$ 次之后， $w,b$ 的增量分别为 ${\alpha }_i{y}_i{x}_i$ 和 ${\alpha }_i{y}_i$ ，其中 ${\alpha }_i=n_i\eta$ ，$n_i$ 是点 $(x_i,y_i)$ 被误分类的次数。

最后学习到的参数为：
$$w=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i{x}_i;b=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i$$
算法：
输入：训练集：
$$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\cdot \cdot \cdot \cdot ,(x_N,y_N)\}$$
​ 其中， $x_i\in \mathcal{X}\subseteq {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ ， $y\in \mathcal{Y}=+1,-1$ ；步长 $\eta (0<\eta \le 1)$

输出：$\alpha ,b$ ；感知机模型 $f(x)=\mathrm{sign}({\sum }_{j=1}^N{\alpha }_i{y}_i{x}_j\cdot x+b)$ ，其中 $\alpha ={({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_N)}^T$

• 选取初始值 ${\alpha }^{<0>}=(0,0,\cdot \cdot \cdot ,0{)}^T,b^{<0>}=0$ ，上标表示被误分类的次数；

• 于训练集中随机选取数据 $(x_i,y_i)$ ；

• 若 $y_i({\sum }_{j=1}^N{\alpha }_j{y}_j{x}_j\cdot x_i+b)\le 0$ ，
  $$\alpha \leftarrow \alpha +\eta ;b\leftarrow b+\eta y_i$$

• 转（2），直至没有误分类点。

Gram 矩阵

对于感知机的对偶形式中的（3）： $y_i({\sum }_{j=1}^N{\alpha }_j{y}_j{x}_j\cdot x_i+b)\le 0$

迭代条件：
$$\begin{array}{rl}{y}_i\left(\sum _{j=1}^N{\alpha }_j{y}_j{x}_j\cdot x_i+b\right)& =y_i\left[\left({\alpha }_1{y}_1{x}_1+{\alpha }_2{y}_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_N{y}_N{x}_N\right)\cdot x_i+b\right)]\\ & =y_i\left({\alpha }_1{y}_1{x}_1\cdot x_i+{\alpha }_2{y}_2{x}_2\cdot x_i+\cdots +{\alpha }_N{y}_N{x}_N\cdot x_i+b\right)\\ & \le 0\end{array}$$
Gram 矩阵： $N$ 维欧式空间中任意 $k$ 个向量之间两两的内积所组成的矩阵
$$G={\left[x_i\cdot x_j\right]}_{N\times N}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1\cdot x_1& x_1\cdot x_2& \cdots & x_1\cdot x_N\\ x_2\cdot x_1& x_2\cdot x_2& \cdots & x_2\cdot x_N\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_N\cdot x_1& x_N\cdot x_2& \cdots & x_N\cdot x_N\end{array}\right]$$

在感知机的对偶形式中，可将 Gram 矩阵提前算出。

总结归纳

• 超平面：在几何空间中，如果环境空间中是 $n$ 维，那么它所对应的超平面就是 $n-1$ 维的子空间。
• 感知机必须要求数据集线性可分，因为算法的停止条件就是没有误分类点。
• 对于所有误分类点到 $\mathrm{S}$ 的距离：$-\frac{1}{\Vert w\Vert }\left|w\cdot x_0+b\right|$ ，$\frac{1}{\Vert w\Vert }$ 不影响损失函数的正负值判断，同时不影响感知机的分类结果，故在损失函数中不体现。
• 梯度可以简单理解为对损失函数求偏导。
• 梯度下降算法无法处理鞍点的情况，故梯度下降算法只能得到局部最优点，无法找到全局最优解。
• 当数据维度过高时，批量梯度算法的求解过于复杂，甚至会出现无法求出最优解的情况，故在相关算法中，随机梯度下降法仍是求解的第一选择。
• 提前将 Gram 矩阵算出，在对偶形式的感知机进行函数计算时，直接利用 Gram 矩阵预先计算的结果，会提高算法的速度。
• 若采用随机梯度下降法，$y_i({\sum }_{j=1}^N{\alpha }_j{y}_j{x}_j\cdot x_i+b)\le 0$ 实际上只有一个误分类点，并无求和。
• 感知机求得的超平面不唯一，若唯一则需要添加限定条件，这是支持向量机的内容。