算法训练营 day58 动态规划 判断子序列 不同的子序列

判断子序列

392. 判断子序列 - 力扣（LeetCode）

给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。

字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。

进阶：

如果有大量输入的 S，称作 S1, S2, … , Sk 其中 k >= 10亿，你需要依次检查它们是否为 T 的子序列。在这种情况下，你会怎样改变代码？

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

   dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。

   注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。

2. 确定递推公式

   在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：

• if (s[i - 1] == t[j - 1])

  • t中找到了一个字符在s中也出现了

• if (s[i - 1] != t[j - 1])

  • 相当于t要删除元素，继续匹配

  if (s[i - 1] == t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1（如果不理解，在回看一下dp[i][j]的定义）

  if (s[i - 1] != t[j - 1])，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1];

3. dp数组如何初始化

   从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。

   这里大家已经可以发现，在定义dp[i][j]含义的时候为什么要表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。

   因为这样的定义在dp二维矩阵中可以留出初始化的区间，如图：

​ 如果要是定义的dp[i][j]是以下标i为结尾的字符串s和以下标j为结尾的字符串t，初始化就比较麻烦了。

​ dp[i][0] 表示以下标i-1为结尾的字符串，与空字符串的相同子序列长度，所以为0. dp[0][j]同理。

4. 确定遍历顺序

同理从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右

如图所示：

5. 举例推导dp数组

以示例一为例，输入：s = “abc”, t = “ahbgdc”，dp状态转移图如下：

dp[i][j]表示以下标i-1为结尾的字符串s和以下标j-1为结尾的字符串t 相同子序列的长度，所以如果dp[s.size()][t.size()] 与 字符串s的长度相同说明：s与t的最长相同子序列就是s，那么s 就是 t 的子序列。

图中dp[s.size()][t.size()] = 3， 而s.size() 也为3。所以s是t 的子序列，返回true。

class Solution {
    public boolean isSubsequence(String s, String t) {
        int[][] dp = new int[s.length()+1][t.length()+1];
        char[] number1 = s.toCharArray();
        char[] number2 = t.toCharArray();

        for (int i = 1; i <= number1.length; i++) {
            for (int j = 1; j <=number2.length; j++) {
                if (number1[i-1]==number2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                else dp[i][j] = dp[i][j-1];
                System.out.print(dp[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
        return dp[number1.length][number2.length]==s.length();
    }
}

不同的子序列

115. 不同的子序列 - 力扣（LeetCode）

给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。

字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE” 的一个子序列，而 “AEC” 不是）

题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

·dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。

2. 确定递推公式

   这一类问题，基本是要分析两种情况

• s[i - 1] 与 t[j - 1]相等

• s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等

  当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。

  一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dp[i-1][j-1]。

  一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。

  当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];

  当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dp[i - 1][j]

  所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];

3. dp数组如何初始化

   从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来，如图：，那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。

每次当初始化的时候，都要回顾一下dp[i][j]的定义，不要凭感觉初始化。

dp[i][0]表示什么呢？

dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。

那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。

再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。

那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t。

4. 确定遍历顺序

从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

5. 举例推导dp数组

以s：“baegg”，t："bag"为例，推导dp数组状态如下：

如果写出来的代码怎么改都通过不了，不妨把dp数组打印出来，看一看，是不是这样的。

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        char[] number1 = s.toCharArray();
        char[] number2 = t.toCharArray();
        int[][] dp = new int[number1.length+1][number2.length+1];
        for (int i = 0; i <=number1.length; i++) {
            dp[i][0]=1;
        }
        for (int i = 1; i <=number1.length ; i++) {
            for (int j = 1; j <=number2.length ; j++) {
                if (number1[i-1]==number2[j-1]) 
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];
                else dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
        return dp[number1.length][number2.length];
    }
}