第三章线性神经网络

代码：d2l-zh/pytorch/chapter_linear-networks

3.1 线性回归

3.1. 线性回归 — 动手学深度学习 2.0.0 documentation

解析解

线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来，这类解叫作解析解（analytical solution）。
首先，我们将偏置b合并到参数w中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。我们的预测问题是最小化。
这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。
将损失关于 $||\bold y-\bold Xw||^2$ 的导数设为0，得到解析解：

$\bold w^*=(\bold X^T \bold X)^{-1} \bold X^T \bold y$

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。解析解可以进行很好的数学分析，但解析解对问题的限制很严格，导致它无法广泛应用在深度学习里。

随机梯度下降

算法的步骤如下：（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。

最优化方法一：梯度下降法_意念回复的博客-CSDN博客_梯度下降优化算法

矢量化加速

SIMD

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化，从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环。

%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import torch

n = 10000
a = torch.ones([n])
b = torch.ones([n])

c = torch.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
# '0.09661 sec'

timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'

# '0.00021 sec'

结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。矢量化代码通常会带来数量级的加速。另外，我们将更多的数学运算放到库中，而无须自己编写那么多的计算，从而减少了出错的可能性。

3.2 线性回归的从零开始实验

3.2. 线性回归的从零开始实现 — 动手学深度学习 2.0.0 documentation

课后题

如果我们将权重初始化为零，会发生什么。算法仍然有效吗？

谈谈神经网络权重为什么不能初始化为0

在单层网络中(一层线性回归层)，将权重初始化为零时可以的，但是网络层数加深后，在全连接的情况下，在反向传播的时候，由于权重的对称性会导致出现隐藏神经元的对称性，使得多个隐藏神经元的作用就如同1个神经元，算法还是有效的，但是效果不大好。

3.3 线性回归的简洁实现

3.3. 线性回归的简洁实现 — 动手学深度学习 2.0.0 documentation

为什么机器学习优化算法都采取梯度下降(一阶导算法)，而不采用牛顿法(二阶导算法)，收敛速度更快，一般能算出一阶导，二阶导也应该能算。

为什么机器学习中通常使用梯度下降进行训练

高阶导数信息的准确估计需要训练数据的批量更大

复杂高维神经网络的代价函数具有极多鞍点使高阶方法失效

其实核心还是神经网络参数数量大造成高阶方法计算、存储成本难以接受

如果样本大小不是批量数的整数倍，那需要随机剔除多余的样本吗？

如果是100个样本且batchsize=60 ：

（1）就取剩下的40个（2）丢掉剩下的40个（3）从下一个epoch再补20个

3.4 softmax回归

在这里插入图片描述

全连接层的参数开销

正如我们将在后续章节中看到的，在深度学习中，全连接层无处不在。然而，顾名思义，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。具体来说，对于任何具有 $d$ 个输入和 $q$ 个输出的全连接层，参数开销为 $O (d q)$ ，这个数字在实践中可能高得令人望而却步。幸运的是，将 $d$ 个输入转换为 $q$ 个输出的成本可以减少到 $O(\frac{dq}{n})$ ，其中超参数 $n$ 可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性。