1 图

1.1 定义

图是一种非线性的数据结构，表示多对多的关系。

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V, E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

在图中需要注意的是：

• 线性表和树可以看做特殊的图。

• 线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点（Vertex）。

• 线性表可以没有元素，称为空表；树中可以没有节点，称为空树；但是，在图中不允许没有顶点（有穷非空性）

• 线性表中的各元素是线性关系，树中的各元素是层次关系，而图中各顶点的关系是用边来表示（边集可以为空）。

1.2 4种图模型

• 无向图
• 有向图
• 加权图
• 加权有向图

2 无向图

2.1 定义

图是由一组顶点和一组能够将两个顶点相连的边组成。

图下图2.1-1所示：

顶点一般使用0至V-1来表示一张含有V个顶点的图中的各个顶点，使用数组索引作为结点很方便。我们使用v-w或者w-v表示连接v和w的边。

特殊的图：

• 自环：一条连接一个顶点和其自身的边
• 连接同一对顶点的两条及以上的边称为平行边

含有平行边的图称为多重图；没有平行边或自环的图称为简单图。

2.2 术语

• 相邻顶点：由同一条边连接的两个顶点，称为相邻顶点，并称这条边依附于这2个顶点。

• 度数：某个顶点的度数即为依附于这个顶点的边的总数。

• 子图：有一幅图所以边的一个子集（以及他们所依附的所有顶点）组成的图。

• 路径：由边顺序连接的一系列顶点。

  • 简单路径：一条没有重复顶点的路径。

• 环：一条至少含有一条边且起点和终点相同的路径。

  • 简单环：一条（除起点和终点必须相同外）不含有重复顶点和边的环。
  • u-v-w-x-u记法表示从u到v到w在回到u到一条环。

• 路径长度或者环的长度：路径或者边所 包含的边数。

• 连通：当两个顶点之间存在一条连接双方的路径时，我们称一个顶点和另外一个顶点连通。

  • u-v-w-x记法表示u到x的一条路径

• 连通图：如果从任意一顶点都存在一条路径到达另一个任意顶点，我们称这幅图是连通图。

  • 一幅非连通图由若干连通的部分组成，它们都是其极大连通子图（分量）。

• 连通图的生成树：连通图的生成树是它的一幅子图，它含有图中的所有顶点且是一颗树。

  • 树是一幅无环连通图。互不相连的树组成的集合称为森林。

• 图的生成树森林：图的所有连通子图上生成树的集合。

一棵树如下图所示：

生成树森林：

当且仅当一幅含有V个结点的图G满足下列5个条件之一时，它就是一棵树：

• G有V-1条边且不含有环；

• G有V-1条边且时连通的；

• G是连通的，但删除任意一条边都会使它不在连通；

• G是无环图，但添加任意一条边都会产生一条环；

• G中任意一堆顶点之间仅存在一条简单路径。

• 图密度：图密度是指已连接的顶点对占所有可能连接顶点对的比例。

  • 稀疏图：如果一幅图中不同边的数量在顶点总数V的一个小的常数倍以内，那么我们就称这幅图是稀疏的。
  • 稠密图：否则就是稠密图。

• 二分图：二分图是一种能够将所有结点分为两部分的图，其中图的每条边所连接的两个顶点分别属于不同的部分。

后记

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参考链接:

[1][美]Robert Sedgewich,[美]Kevin Wayne著;谢路云译.算法：第4版[M].北京：人民邮电出版社，2012.10

[2]数据结构：图的基本概念