区间信息维护与查询【树状数组 】 - 原理1 一维树状数组

【原理1】 一维树状数组

有一个包含n 个数的数列2, 7, 1, 12, 5, 9 …，请计算前i 个数的和值，即前缀和sum[i ]=a [1]+a [2]+…+a [i ]（i =1, 2, …, n）。该怎么计算呢？一个一个加起来怎么样？

sum = 0;
for(int k = 1; k <= i ; k ++){
	
	sum += a[k];
}

若用这种办法，则计算前n 个数的和值需要O (n )时间。而且若对a [i ]进行修改，则对sum[i ], sum[i +1], …, sum[n ]都需要修改，在最坏的情况下需要O (n )时间。

当n 特别大时效率很低。

树状数组可以高效地计算数列的前缀和，其查询前缀和与点更新（修改）操作都可以在O (logn )时间内完成，那么树状数组是怎么巧妙实现这些的呢？

① 树状数组的由来

树状数组引入了分级管理制度且设置了一个管理小组，管理小组中的每个成员都管理一个或多个连续的元素。例如，在数列中有9个元素，分别用a [1], a [2], …, a [9]存储，还设置了一个管理小组c[]。

管理小组的每个成员都存储其所有子节点的和。

• c [1]：存储a [1]的值。
• c [2]：存储c [1]、a [2]的和值，相当于存储a [1]、a [2]的和值。
• c [3]：存储a [3]的值。
• c [4]：存储c [2]、c [3]、a [4]的和值，相当于存储a [1]、a[2]、a [3]、a [4]的和值。
• c [5]：存储a [5]的值。
• c [6]：存储c [5]、a [6]的和值，相当于存储a [5]、a [6]的和值。
• c [7]：存储a [7]的值。
• • c [8]：存储c [4]、c [6]、c [7]、a [8]的和值，相当于存储a[1]～a [8]的和值。
• c [9]：存储a [9]的值。

从上图可以看出，这个管理数组c []是树状的，因此叫作树状数组。怎么利用树状数组求前缀和及点更新呢？

[1] 查询前缀和

若想知道sum[7]，则只需c [7]加上左侧所有子树的根即可，即sum[7]=c [4]+c [6]+c [7]。

• sum[4]：左侧没有子树，直接找c [4]即可，sum[4]=c [4]。
• sum[5]：左侧有一颗子树，其根为c [4]，sum[5]=c [4]+c[5]。
• sum[9]：左侧有一棵子树，其根为c [8]，sum[9]=c [8]+c[9]。

[2] 点更新

点更新指修改一个元素的值，例如对a [5]加上一个数y ，则需要更新该元素的所有祖先节点，即c [5]、c [6]、c [8]，令这些节点都加上y 即可，对其他节点都不需要修改。

为什么只修改其祖先节点呢？因为当前节点只和祖先有关系，和其他节点没有关系。

• c [5]：存储a [5]的值，修改a [5]加上y ，因此c [5]也要加上y 。
• c [6]：存储c [5]、a [6]的和值（a [5]、a [6]），a [5]加上y ，c [6]也要加上y 。
• c [8]：存储c [4]、c [6]、c [7]、a [8]的和值（～a [1]a[8]），a [5]加上y ，c [8]也要加上y 。

那么这个管理数组（树状数组）是怎么得来的呢？

② 树状数组的实现

树状数组，又叫作二进制索引树（Binary Indexed Trees），通过二进制分解划分区间。那么c [i ]存储的是哪些值？

[1] 区间长度

若i 的二进制表示末尾有k 个连续的0，则c [i ]存储的区间长度为2^k ，从a [i ]向前数2^k 个元素，即c [i ]=a [i -2^k +1]+a [i-2^k +2]+…+a [i ]。

例如：i =6，6的二进制表示为110，末尾有1个0，即c [6]存储的值区间长度为2（2^1 ），存储的是a [5]、a [6]的和值，即c [6]=a[5]+a [6]。

i =5，5的二进制表示为101，末尾有0个0，即c [5]存储的值区间长度为1（2^0 ），它存储的是a [5]的值，即c [5]=a [5]。

怎么得到这个区间的长度呢？若i 的二进制表示末尾有k 个连续的0，则c [i ]存储的值区间长度为2^k ，换句话说，区间长度就是i 的二进制表示下最低位的1及它后面的0构成的数值。例如i =20，其二进制表示为10100，末尾有两个0，区间长度为2^2 （4），其实就是10100最低位的1及其后面的0构成的数值100（该数为二进制，其十进制为4）。

怎么得到100呢？可以先把10100取反，得到01011，然后加1得到01100，此时，最低位的1仍然为1，而该位前面的其他位与原值相反，因此与原值10100进行与运算即可。

• 取反运算（～）：1变成0，0变成1。
• 与运算（&）：两位都是1，则为1，否则为0。

在计算机中二进制数采用的是补码表示，-i 的补码正好是i 取反加1，因此(-i )&i 就是区间的长度。若将c [i ]存储的值区间长度用lowbit(i )表示，则lowbit(i )=(-i )&i 。

算法代码：

int lowbit(int i){
	return (-i) & i;
}

[2] 前驱和后继

直接前驱：c [i ]的直接前驱为c [i -lowbit(i )]，即c [i ]左侧紧邻的子树的根。

直接后继：c [i ]的直接后继为c [i +lowbit(i )]，即c [i ]的父节点。

前驱：c [i ]的直接前驱、其直接前驱的直接前驱等，即c [i ]左侧所有子树的根。

后继：c [i ]的直接后继，其直接后继的直接后继等，即c [i ]的所有祖先。

c [7]的直接前驱为c [6]，c [6]的直接前驱为c [4]，c [4]没有直接前驱；c [7]的前驱为c [6]、c [4]。

c [5]的直接后继为c [6]，c [6]的直接后继为c [8]，c [8]没有直接后继；c [5]的后继为c [6]、c [8]。

[3] 查询前缀和

前i 个元素的前缀和sum[i ]等于c [i ]加上c [i ]的前驱，sum[7]等于c [7]加上c [7]的前驱，c [7]的前驱为c [6]、c [4]，因此sum[7]=c [7]+c [6]+c [4]。

算法代码：

int sum(){ //求 前缀和a[1] .. a[i]
	
	int s = 0;
	for( ; i > 0 ; i -= lowbit(i)){ //直接前驱 i -= lowbit(i)
		s += c[i];
	}
	return s;
}

[4] 点更新

若对a [i ]进行修改，令a [i ]加上一个数z ，则只需更新c [i ]及其后继（祖先），即令这些节点都加上z 即可，不需要修改其他节点。修改a [5]，另其加上2，则只需c [5]+2，对c [5]的后继分别加上2，即c [6]+2、c [8]+2。

算法代码：

void add(int i , int z){ //a[i] 加上z
	for(; i <= n ; i += lowbit(i)){ //直接后继，即父节点 i += lowbit(i)
		c[i] += z;
	}
}

注意：树状数组的下标从1开始，不可以从0开始，因为lowbit(0)=0时会出现死循环。

[5] 查询区间和

若求区间和值a [i ]+a [i +1]+…+a [j ]，则求解前j 个元素的和值减去前i -1个元素的和值即可，即sum[j ]-sum[i -1]。

算法代码：

int sum(int i , int j){ // 求区间和a[i] .. a[j]
	return sum(j) - sum(i - 1);
}

③ 算法分析

树状数组是通过二进制分解划分区间的。树状数组的性能与n 的二进制位数有关，n 的二进制位数为 ⌊ logn ⌋ + 1 ，⌊ x ⌋ 表示向下取整，即取小于或等于x 的最大整数。⌊ log5 ⌋ =2，5的二进制位数为3位；⌊ log8 ⌋ =3，8的二进制位数为4。

如何求解树状数组的高度呢？树状数组底层的叶子是c [1]，因此从开始一直找其后继（祖先）直到树根，就是树状数组的高度。

c [1]-c [2^1 ]-c [2^2 ]-c [2^3 ]-…-c [n ]，每次都是2倍增长，假设n =2^x，则x =logn ，因此树高h =O (logn )。更新时，从叶子更新到树根，执行的次数不超过树的高度，因此更新的时间复杂度为O (logn )。

查询前缀和时，需要不停地查找前驱，那么前驱最多有多少个呢？

n 的二进制数有k = ⌊ logn ⌋ + 1 位，在最多的情况下，每一位都是1，则n =“111…1”可以被表示为n =2^(k -1) +2^(k -2) +…+2^1 +2^0 。7=“111”=2^2 +2^1 +2^0 ，c [7]的前驱为c [7-2^0 ]、c[7-2^0 -2^1 ]、c[7-2^0 -2^1 -2^2 ]，最后一个为c [0]，表示不存在，因此c [7]的前驱为c [6]、c [4]。前驱的个数与n 的二进制数的位数有关，不超过O(logn )，

因此查询前缀和的时间复杂度为O (logn )，即树状数组修改和查询的时间复杂度均为O (logn )。