【模板】线段树 2

news2024/12/18 22:11:27

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面三种操作：

将某区间每一个数乘上 $x$
将某区间每一个数加上 $x$
求出某区间每一个数的和

输入格式

第一行包含三个整数 $n, m, p$ ，分别表示该数列数字的个数、操作的总个数和模数。

第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i$ 项的初始值。

接下来 $m$ 行每行包含若干个整数，表示一个操作，具体如下：

操作 $1$ ：格式：1 x y k 含义：将区间 $[x, y]$ 内每个数乘上 $k$

操作 $2$ ：格式：2 x y k 含义：将区间 $[x, y]$ 内每个数加上 $k$

操作 $3$ ：格式：3 x y 含义：输出区间 $[x, y]$ 内每个数的和对 $p$ 取模所得的结果

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 $3$ 的结果。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

17
2

提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据： $\le 8$ ， $\le 10$
对于 $70\%$ 的数据：$n \le 10^3 $，$ m \le 10^4$
对于 $100\%$ 的数据：$ n \le 10^5 $，$ m \le 10^5$

除样例外， $p = 571373$

（数据已经过加强qwq）

样例说明：

故输出应为 $17$ 、 $2$ （ $\bmod 38 = 2$ ）

解题思路：

关于线段树，这里简单说明一下

首先是线段树的结构，因为用指针存储树的结构过于麻烦，所以用数组进行树的结构存储

初始化，为根节点分配索引 $1$

设根节点索引为root，左子树索引为left，右子树索引为right

则有left = root * 2，right = root * 2 + 1

然后你会发现每层最后一个节点的索引分别为 $1$ 、 $3$ 、 $7$ 、 $15$ …

也就是 $2^1-1$ 、 $2^2 - 1$ 、 $2^3 - 1$ 、 $2^4 - 1$ …，挺神奇的

所以我们为线段树维护的节点数量为区间长度$ * 4$

关于节点的数据，每个节点维护一段数组区间

左子树和右子树各自维护根节点的一半区间

维护的可以是区间的最大/最小值、区间和等

然后关于线段树的三大操作：建立、更新、查询，这里不详细展开

其核心思路就是先不断向下搜索确定子节点，然后递归更新根节点

如果直接看代码不太懂的话，一会我会推荐一篇我认为写得很好的算法说明

最后是比较难懂的懒惰标记（就是代码中的mul_tag和add_tag）

它的功能就是像名字一样，是用来偷懒的

更新到某个节点（该节点维护的区间为更新区间的真子集）之后停止更新，而是打上标记

如果之后需要用到它的子节点，那么就继续更新，这样可以减少操作量，提高效率

生动形象的话就是“工作你检查到哪里我就做到哪里”

这里是一个讲解的非常好的线段树说明（我就是从这里学的）：线段树

本题有点难是因为有两个懒惰标记：加法标记和乘法标记

我们需要确定更新子树的时候这两个标记的操作顺序

从而决定这两个标记本身的更新顺序

比较简单的是先乘法后加法的顺序更新子树，先加后乘可以自行尝试

如果是操作 $1$ ，那么将两个标记同时乘上操作数即可

如果是操作 $2$ ，只需要把加法标记加上操作数，甚至不需要更新乘法标记

这里需要注意的一点是所有乘法标记最开始需要初始化为 $1$

但是在运算过程中，由于取模操作，乘法标记可能为 $0$

所以，懒惰标记是否传递的判断应该是mul_tag != 1

其余判断均会导致一些更新错误

那么，AC代码如下

#include <iostream>
using namespace std;
const int max_n = int(1e5);
const int max_m = int(1e5);

int n, m;
long long p;
long long num_arr[max_n + 1];
long long tree[max_n * 4 + 1];
long long mul_tag[max_n * 4 + 1];
long long add_tag[max_n * 4 + 1];


void push_down(int index, int l, int r) {
	if (mul_tag[index] != 1 || add_tag[index]) {
		long long mul = mul_tag[index];
		long long add = add_tag[index];
		int m = l + ((r - l) >> 1);

		tree[index << 1] = ((tree[index << 1] * mul) + add * (long long)(m - l + 1)) % p;
		mul_tag[index << 1] = (mul * mul_tag[index << 1]) % p;
		add_tag[index << 1] = (add + add_tag[index << 1] * mul) % p;

		tree[(index << 1) + 1] = ((tree[(index << 1) + 1] * mul) + add * (long long)(r - m)) % p;
		mul_tag[(index << 1) + 1] = (mul * mul_tag[(index << 1) + 1]) % p;
		add_tag[(index << 1) + 1] = (add + add_tag[(index << 1) + 1] * mul) % p;

		mul_tag[index] = 1;
		add_tag[index] = 0;
	}
}

void build_tree(int index, int l, int r) {
	if (l == r) {
		tree[index] = num_arr[l] % p;
		return;
	}
	else {
		int m = l + ((r - l) >> 1);
		build_tree(index << 1, l, m);
		build_tree((index << 1) + 1, m + 1, r);
		tree[index] = (tree[index << 1] + tree[(index << 1) + 1]) % p;
	}
}

void update_1(int index, int l, int r, const long long mul, const int L, const int R) {
	if (L <= l && r <= R) {
		tree[index] = (mul * tree[index]) % p;
		mul_tag[index] = (mul * mul_tag[index]) % p;
		add_tag[index] = (mul * add_tag[index]) % p;
		return;
	}
	else {
		push_down(index, l, r);

		int m = l + ((r - l) >> 1);
		if (L <= m)
			update_1(index << 1, l, m, mul, L, R);
		if (m + 1 <= R)
			update_1((index << 1) + 1, m + 1, r, mul, L, R);

		tree[index] = (tree[index << 1] + tree[(index << 1) + 1]) % p;
	}
}

void update_2(int index, int l, int r, const long long add, const int L, const int R) {
	if (L <= l && r <= R) {
		tree[index] = ((long long)(r - l + 1) * add + tree[index]) % p;
		add_tag[index] = (add_tag[index] + add) % p;
		return;
	}
	else {
		push_down(index, l, r);

		int m = l + ((r - l) >> 1);
		if (L <= m)
			update_2(index << 1, l, m, add, L, R);
		if (m + 1 <= R)
			update_2((index << 1) + 1, m + 1, r, add, L, R);

		tree[index] = (tree[index << 1] + tree[(index << 1) + 1]) % p;
	}
}

long long search(int index, int l, int r, const int L, const int R) {
	if (L <= l && r <= R) {
		return tree[index];
	}
	else {
		push_down(index, l, r);

		int m = l + ((r - l) >> 1);
		long long left_ret = 0, right_ret = 0;

		if (L <= m)
			left_ret = search(index << 1, l, m, L, R);
		if (m + 1 <= R)
			right_ret = search((index << 1) + 1, m + 1, r, L, R);

		return (left_ret + right_ret) % p;
	}
}

int main() {
	for (int i = 1; i <= max_n * 4; i++) mul_tag[i] = 1;

	cin >> n >> m >> p;
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> num_arr[i];

	build_tree(1, 1, n);

	int q[3];
	long long num;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		cin >> q[0];
		if (q[0] == 1) {
			cin >> q[1] >> q[2] >> num;
			update_1(1, 1, n, num % p, q[1], q[2]);
		}
		else if (q[0] == 2) {
			cin >> q[1] >> q[2] >> num;
			update_2(1, 1, n, num % p, q[1], q[2]);
		}
		else {
			cin >> q[1] >> q[2];
			cout << search(1, 1, n, q[1], q[2]) << endl;
		}
	}
	return 0;
}