数据结构—堆（完全解析）

news2024/11/24 3:05:51

数据结构—堆（完全解析）

数据结构——堆（Heap）大根堆、小根堆

详解数据结构——堆

堆的基本存储

【从堆的定义到优先队列、堆排序】 10分钟看懂必考的数据结构——堆

【堆/排序】堆排序的两种建堆方法

【算法】排序算法之堆排序

C++：浅析STL之priority_queue构建大根堆与小根堆

基本概念

堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象

堆满足下列性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值
堆总是一棵完全二叉树

Min-heap(大根堆）: 父节点的值小于或等于子节点的值

Max-heap(小根堆）: 父节点的值大于或等于子节点的值
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堆的存储

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i–1)/2

它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2

如第0个结点左右子结点下标分别为1和2

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堆的插入和上浮

当一个新元素想要插入这个堆的时候，我们首先把他放到这个堆的末尾
然后依据堆的特性，对它的位置进行调整，由于要保持父结点的值要永远少于其子节点的值，而2的直接父节点6大于了它，所以要把他们两的位置对换
对换完毕后，再检查这个堆的状态，发现其父节点3仍然大于自己，所以继续往上和3对换
结束后和0比较，0不大于自己，所以停留在原地不动，插入结束
简单来说，插入一个结点就是将该元素插入到堆的尾部，然后不断上浮调整位置，直至满足堆的条件

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堆的删除和下沉

删除一般指的都是删除堆顶元素，在堆顶元素被拿掉后，将末尾元素置换上来，进行下沉操作
由于这是最小堆，堆顶一定是最小元素，首先6大于左结点1，需要下沉,
下沉完以后继续和它子节点比较，发现左结点2小于自身，继续下沉
最后8 和 9都比6大，停止下沉。
总结来说，意思就是删除堆顶元素后，用末尾元素补上，然后不断下沉，直至满足堆的条件

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堆的建立

自顶向下，时间复杂度为O(nlogn)

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自下而上，时间复杂度为O(n)

从倒数第二排开始，对每一个父节点进行下滤操作，直到根节点操作完毕

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堆的应用

优先队列

优先队列有两个操作，插入队列和弹出最小元素

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优先队列利用小根堆实现，弹出根节点即可实现弹出最小元素的操作

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弹出后要将剩余的元素调整为堆，将最后一个元素放到根节点，进行下沉操作即可

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堆排序

先把数组构造成一个大顶堆（父亲节点大于其子节点），然后把堆顶（数组最大值，数组第一个元素）和数组最后一个元素交换，这样就把最大值放到了数组最后边
把数组度-1，再进行构造堆把剩余的第二大值放到堆顶，输出堆顶（放到剩余未排序数组最后面），依次类推，直至数组排序完成

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
void max_heapify(int arr[], int start, int end) {
    //建立父节点指标和子节点指标
    int dad = start;
    int son = dad * 2 + 1;
    while (son <= end) { //若子节点指标在范围内才做比较
        if (son + 1 <= end && arr[son] < arr[son + 1]) //先比较两个子节点大小，选择最大的
            son++;
        if (arr[dad] > arr[son]) //如果父节点大于子节点代表调整完毕，直接跳出函数
            return;
        else { //否则交换父子内容再继续子节点和孙节点比较
            swap(arr[dad], arr[son]);
            dad = son;
            son = dad * 2 + 1;
        }
    }
}
void heap_sort(int arr[], int len) {
    //初始化，i从最后一个父节点开始调整
    for (int i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)
        max_heapify(arr, i, len - 1);
    //先将第一个元素和已经排好的元素前一位做交换，再从新调整(刚调整的元素之前的元素)，直到排序完毕
    for (int i = len - 1; i > 0; i--) {
        swap(arr[0], arr[i]);
        max_heapify(arr, 0, i - 1);
    }
}
int main() {
    int arr[] = { 3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6 };
    int len = (int) sizeof(arr) / sizeof(*arr);
    heap_sort(arr, len);
    for (int i = 0; i < len; i++)
        cout << arr[i] << ' ';
    cout << endl;
    return 0;
}

C++ STL大根堆小根堆

在C++中优先队列默认的是大根堆，如果用小根堆则加入greater

#include <queue>
priority_queue<int, vector<int>>s;//大根堆
priority_queue<int, vector<int>, less<int>>s;//less表示按照递减(从大到小)的顺序插入元素，大根堆
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>>s;//greater表示按照递增（从小到大）的顺序插入元素，小根堆

支持的顺序容器：vector,queue，默认是vector

priority_queue类能按照有序的方式在底层数据结构中执行插入、删除操作

q.pop();//删除优先队列priority_queuel的最高优先级元素(通过调用底层容器的pop_back()实现)
q.push(item);//在priority._queue优先级顺序合适的位置添加创建一个值为item的元素(通过调用底层容器的push_back()操作实现)
q.emplace(args);//在priority_queue优先级顺序合适的位置添加个由args构造的元素(通过调用底层容器的emplace_back()操作实现)
q.top();//返回priority_queue的首元素的引用(通过调用底层容器的front()操作实现)
q.empty();//判断q是否为空，空返回true,否则返回false(通过调用底层容器的empty()操作实现)
q.size();//返回q中的元素个数(通过调用底层容器的size()操作实现)
swap(q,p);//交换两个优先队列priority_queue p,q的内容，p和q的底层容器类型也必须相同(通过调用底层容器的swap0操纵实现)