1 LOF算法

  局部异常因子(Local Outlier Factor，LOF)算法是目前比较常用的离群点检测算法，该算法通过一种模糊的手段来判断数据对象是否为异常点。

• 对象$p$的$k$距离：在数据集$D$中，将对象$p$与距其第$k$远的对象$o$之间的距离定义为 对象$p$的$k$距离。记为：$k-distance(p)=d(p,o)$。其中$d(p,o)$表示对象$p$到对象$o$的距离。
• 对象$p$的$k-distance$邻域：对象$p$的$k-distance$邻域是指$D$中的对象$q$到$p$的距离不大于$k-distance(p)$的所有对象的集合。记为： N k − d i s t a n c e ( p ) = { q ∈ D / { p } ∣ d ( p , q ) ≤ k − d i s t a n c e ( p ) } N_{k-distance}(p)=\{q\in D/\{p\}|d(p,q)\leq k-distance(p) \} Nk−distance​(p)={q∈D/{p}∣d(p,q)≤k−distance(p)}
• 对象$p$到对象$o$的可达距离： r e a c h − d i s t k ( p , o ) = m a x { k − d i s t a n c e ( o ) , d ( p , o ) } reach-dist_{k}(p,o)=max\{k-distance(o),d(p,o)\} reach−distk​(p,o)=max{k−distance(o),d(p,o)}
• 对象$p$的局部可达密度：$$lr{d}_{MinPts}(p)=\frac{|N_{MinPts}(p)|}{{\sum }_{o\in N_{MinPts}(p)}reach-dis{t}_{MinPts}(p,o)}$$从上式可以看出，$p$的局部可达密度是$p$的$MinPts$个最近邻居的平均可达距离的倒数。
• 对象$p$的局部离群因子定义如下：$$LO{F}_{MinPts}(p)=\frac{{\sum }_{o\in N_{MinPts}(p)}\frac{lr{d}_{MinPts}(o)}{lr{d}_{MinPts}(p)}}{|N_{MinPts}(p)|}$$$p$的离群因子显示其离散程度，是$p$的$MinPts$个最近邻数据对象的局部密度可达平均值与$p$的局部可达密度之间的比值。

2 Python实现

  这里仅介绍使用sklearn包中的LocalOutlierFactor的用法。LocalOutlierFactor方法中的主要参数如下：

其具体用法举例如下：

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.neighbors import LocalOutlierFactor as LOF
from sklearn.datasets import load_iris
from matplotlib import pyplot as plt

#构造数据集
X,_=load_iris(return_X_y=True)
X=X[:53,2:]

#LOF
lof=LOF(n_neighbors=10)
lof.fit(X)
op_lof=lof.negative_outlier_factor_ #值越接近-1,越接近正常点

plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=op_lof)
plt.colorbar()
plt.show()

其最终结果如下：

从图中也可以看出，右上角的三个点是异常点的可能性较大，其对应的negative_outlier_factor值较小。

参考文献

1. 《局部离群点检测算法的研究》
2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/346779842
3. https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.neighbors.LocalOutlierFactor.html#sklearn.neighbors.LocalOutlierFactor