深入浅出C++ ——手撕红黑树

news2024/11/25 2:40:12

文章目录

    • 一、红黑树的概念
    • 二、红黑树的性质
    • 三、红黑树节点的定义
    • 四、红黑树的插入操作
    • 五、红黑树的验证
    • 五、红黑树的删除
    • 六、红黑树与AVL树的比较
    • 七、红黑树的应用
    • 八、红黑树模拟实现

一、红黑树的概念

  红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

在这里插入图片描述

二、红黑树的性质

  1. 每个结点不是红色就是黑色
  2. 根节点是黑色的
  3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的，即树中没有连续的红色节点
  4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点，即每条路径的黑色节点数量相等
  5. 每个叶子结点(这里的叶子结点指的是空结点，也叫做NIL节点 ）都是黑色的

  红黑树中第三和第四条规则构成互斥，极限的最短一定是全黑，极限的最长一定是一黑一红 。

三、红黑树节点的定义

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
	{}

	pair<K, V> _kv;		//节点的值域
	Colour _col;		//节点的颜色

	RBTreeNode<K, V>* _left;	//节点的左孩子
	RBTreeNode<K, V>* _right;	//节点的右孩子
	RBTreeNode<K, V>* _parent;	//节点的双亲
};

四、红黑树的插入操作

  红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：一、按照二叉搜索的树规则插入新节点。二、检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏。

  因为新节点的默认颜色是红色，如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三（不能有连续的红色节点），此时需要对红黑树分情况来讨论。

情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

  cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点。此处看到的树，可能是一颗完整的树，但是也有可能是一颗子树。

在这里插入图片描述

  解决方式是将将p,u改为黑，g改为红。继续把g当成cur，g是根节点，需要将g改为黑色，如果g是子树且g的双亲颜色为红色，则需要继续向上调整。

情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

  如果u节点不存在，那么cur一定为新插入的节点，否则就违反性质4。如果u节点存在，则一定是黑色的，cur之前也是黑色的，因为新增节点是a、b节点，所以现在它是红色。
在这里插入图片描述

  解决方式：如果p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转。然后再将p变黑，g变红。

情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
在这里插入图片描述
  解决方式：如果p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；如果p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转。旋转后就转变为了情况二。

总结

  在这三种情况中，都有cur为红，p为红，g为黑，可以看出红黑树的关键是叔叔。U存在且为红则变色继续往上处理，U不存在或为黑，则旋转加变色。

  情况二和情况三的主要区别是单旋和双旋的不同。从图中可以看出，当p g cur为一条直线的时候，也就是情况二，单旋即可；p g cur 为一条折线的时候，也就是情况三，需要双旋。

代码实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)	//找插入位置
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	//新节点的默认颜色是红色，因为如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整
	cur->_col = RED;
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;
	while (parent && parent->_col == RED)
	{
		Node* grandfater = parent->_parent;
		assert(grandfater);
		assert(grandfater->_col == BLACK);
		// 关键看叔叔
		if (parent == grandfater->_left)
		{
			Node* uncle = grandfater->_right;
			// 情况一 : uncle存在且为红，变色+继续往上处理
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfater->_col = RED;
				// 继续往上处理
				cur = grandfater;
				parent = cur->_parent;
			}// 情况二+三：uncle不存在 + 存在且为黑
			else
			{
				// 情况二：右单旋+变色
				//     g 
				//   p   u
				// c
				if (cur == parent->_left)
				{
					RotateR(grandfater);
					parent->_col = BLACK;
					grandfater->_col = RED;
				}
				else
				{
					// 情况三：左右单旋+变色
					//     g 
					//   p   u
					//     c
					RotateL(parent);
					RotateR(grandfater);
					cur->_col = BLACK;
					grandfater->_col = RED;
				}

				break;
			}
		}
		else // (parent == grandfater->_right)
		{
			Node* uncle = grandfater->_left;
			// 情况一
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfater->_col = RED;
				// 继续往上处理
				cur = grandfater;
				parent = cur->_parent;
			}
			else
			{
				// 情况二：左单旋+变色
				//     g 
				//   u   p
				//         c
				if (cur == parent->_right)
				{
					RotateL(grandfater);
					parent->_col = BLACK;
					grandfater->_col = RED;
				}
				else
				{
					// 情况三：右左单旋+变色
					//     g 
					//   u   p
					//     c
					RotateR(parent);
					RotateL(grandfater);
					cur->_col = BLACK;
					grandfater->_col = RED;
				}
				break;
			}
		}

	}
	_root->_col = BLACK;
	return true;
}

五、红黑树的验证

  红黑树的检测分为两步：一、检测其是否满足二叉搜索树，这里只需要中序遍历是否为有序序列即可。二、检测其是否满足红黑树的性质。

public:
	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			return true;
		}
		if (_root->_col == RED)
		{
			cout << "根节点不是黑色" << endl;
			return false;
		}
		int benchmark = 0;
		return PrevCheck(_root, 0, benchmark);
	}
private:
	bool PrevCheck(Node* root, int blackNum, int& benchmark)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (benchmark == 0)
			{
				benchmark = blackNum;
				return true;
			}
			if (blackNum != benchmark)
			{
				cout << "某条黑色节点的数量不相等" << endl;
				return false;
			}
			else
			{
				return true;
			}
		}
		if (root->_col == BLACK)
		{
			++blackNum;
		}
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << "存在连续的红色节点" << endl;
			return false;
		}
		return PrevCheck(root->_left, blackNum, benchmark)
			&& PrevCheck(root->_right, blackNum, benchmark);
	}

五、红黑树的删除

  红黑树的删除过于复杂，可以参考 红黑树的删除 这篇博客

六、红黑树与AVL树的比较

  红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O( l o g 2 N log_2 N log2​N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

七、红黑树的应用

  红黑树的应用场景建议观看这个视频讲解红黑树在linux中的3种应用场景

八、红黑树模拟实现

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
	{}

	pair<K, V> _kv;
	Colour _col;

	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
};

template<class K, class V>
struct RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V>  Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)	//找插入位置
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		//新节点的默认颜色是红色，因为如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整
		cur->_col = RED;
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfater = parent->_parent;
			assert(grandfater);
			assert(grandfater->_col == BLACK);
			// 关键看叔叔
			if (parent == grandfater->_left)
			{
				Node* uncle = grandfater->_right;
				// 情况一 : uncle存在且为红，变色+继续往上处理
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfater->_col = RED;
					// 继续往上处理
					cur = grandfater;
					parent = cur->_parent;
				}// 情况二+三：uncle不存在 + 存在且为黑
				else
				{
					// 情况二：右单旋+变色
					//     g 
					//   p   u
					// c
					if (cur == parent->_left)
					{
						RotateR(grandfater);
						parent->_col = BLACK;
						grandfater->_col = RED;
					}
					else
					{
						// 情况三：左右单旋+变色
						//     g 
						//   p   u
						//     c
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfater);
						cur->_col = BLACK;
						grandfater->_col = RED;
					}

					break;
				}
			}
			else // (parent == grandfater->_right)
			{
				Node* uncle = grandfater->_left;
				// 情况一
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfater->_col = RED;
					// 继续往上处理
					cur = grandfater;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					// 情况二：左单旋+变色
					//     g 
					//   u   p
					//         c
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandfater);
						parent->_col = BLACK;
						grandfater->_col = RED;
					}
					else
					{
						// 情况三：右左单旋+变色
						//     g 
						//   u   p
						//     c
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfater);
						cur->_col = BLACK;
						grandfater->_col = RED;
					}

					break;
				}
			}

		}
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			return true;
		}
		if (_root->_col == RED)
		{
			cout << "根节点不是黑色" << endl;
			return false;
		}
		// 黑色节点数量基准值
		int benchmark = 0;
		return PrevCheck(_root, 0, benchmark);
	}
	
private:
	bool PrevCheck(Node* root, int blackNum, int& benchmark)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (benchmark == 0)
			{
				benchmark = blackNum;
				return true;
			}

			if (blackNum != benchmark)
			{
				cout << "某条黑色节点的数量不相等" << endl;
				return false;
			}
			else
			{
				return true;
			}
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			++blackNum;
		}

		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << "存在连续的红色节点" << endl;
			return false;
		}

		return PrevCheck(root->_left, blackNum, benchmark)
			&& PrevCheck(root->_right, blackNum, benchmark);
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}

			subR->_parent = ppNode;
		}

	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

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